Trigonométrie Exemples

$\cos (θ) = - \frac{2}{5}$

Étape 1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cos (θ) = \frac{adjacent}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = \sqrt{{(5)}^{2} - {(- 2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{25 - {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

Opposé $= \sqrt{25 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

Opposé $= \sqrt{25 - 4}$

Étape 4.4

Soustrayez $4$ de $25$ .

Opposé $= \sqrt{21}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{21}}{5}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{21}}{- 2}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{21}}{2}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{21}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (θ) = - \frac{2}{\sqrt{21}}$

Étape 7.3.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cot (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}})$

Étape 7.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 7.3.3.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 7.3.3.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 7.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Étape 7.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 7.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

Étape 7.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 2}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{5}{2}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{5}{\sqrt{21}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{2}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{21}}{2}$

$\cot (θ) = - \frac{2 \sqrt{21}}{21}$

$\sec (θ) = - \frac{5}{2}$

$\csc (θ) = \frac{5 \sqrt{21}}{21}$