Trigonométrie Exemples

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ et $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Opposé : $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Adjacent : $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{2^{1}}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{2}{2^{2}} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{2}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{2 (1)}{4} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Étape 2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Étape 2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Étape 2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}}}$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2}{4}}$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 (1)}{4}}$

Étape 2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Étape 2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Étape 2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.10.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{1 + 1}{2}}$

Étape 2.10.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{2}}$

Étape 2.10.3

Divisez $2$ par $2$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.10.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

$\frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = - (1 (\frac{2}{\sqrt{2}}))$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 4.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.6.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\csc (θ) = - \sqrt{2}$

Étape 5

Approximez le résultat.

$\csc (θ) = - \sqrt{2} \approx - 1.41421356$