Trigonométrie Exemples

$\tan (\frac{3 π}{8})$

Étape 1

Réécrivez

$\frac{3 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par

$2$ .

$\tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})$

Étape 2

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 3

Remplacez le

$\pm$ par

$+$ car la tangente est positive dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 4

Simplifiez

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 4.2

La valeur exacte de

$\cos (\frac{π}{4})$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 4.3

Multipliez

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 4.3.2

Multipliez

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ par

$1$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 4.4

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$

Étape 4.6

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}$

Étape 4.7

La valeur exacte de

$\cos (\frac{π}{4})$ est

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.8

Écrivez

$1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

Étape 4.10

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 4.11

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 4.11.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}$

Étape 4.12

Multipliez

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}$

Étape 4.13

Multipliez

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ par

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}$

Étape 4.14

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 4.15

Simplifiez

$\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.16

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.17

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.17.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.18

Associez

$\sqrt{2}$ et

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}$

Étape 4.19

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.19.2

Déplacez

$2$ à gauche de

$\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.19.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Étape 4.19.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.4.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Étape 4.19.4.2

Réécrivez

$4$ comme

$2^{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Étape 4.19.4.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Étape 4.19.5

Annulez le facteur commun à

$2 \sqrt{2} + 2$ et

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}$

Étape 4.19.5.2

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}$

Étape 4.19.5.3

Factorisez

$2$ à partir de

$2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}$

Étape 4.19.5.4

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.19.5.4.1

Factorisez

$2$ à partir de

$2$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}$

Étape 4.19.5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}$

Étape 4.19.5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}$

Étape 4.19.5.4.4

Divisez

$\sqrt{2} + 1$ par

$1$ .

$\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}$

Étape 4.20

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$\sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}$

Étape 4.21

Additionnez

$\sqrt{2}$ et

$\sqrt{2}$ .

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

Forme décimale :

$2.41421356 \dots$