Trigonométrie Exemples

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$

Étape 1

Pour déterminer le $\csc (θ)$ entre l’abscisse et la droite entre les points $(0, 0)$ et $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ , tracez le triangle entre les trois points $(0, 0)$ , $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ et $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ .

Opposé : $- \frac{1}{2}$

Adjacent : $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse en utilisant le théorème de Pythagore $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{3^{1}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{\frac{3}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 2.8

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{3 + 1}{4}}$

Étape 2.10

Additionnez $3$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{4}{4}}$

Étape 2.11

Divisez $4$ par $4$ .

$\sqrt{1}$

Étape 2.12

Toute racine de $1$ est $1$ .

$1$

Étape 3

$\csc (θ) = \frac{Hypoténuse}{Opposé}$ donc $\csc (θ) = \frac{1}{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 4

Simplifiez $\csc (θ)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\csc (θ) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (θ) = - (1 \cdot 2)$

Étape 4.3

Multipliez $- (1 \cdot 2)$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\csc (θ) = - 1 \cdot 2$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\csc (θ) = - 2$