Trigonométrie Exemples

$\cos^{2} (x) - 1 = 0$

Étape 1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (x) = 1$

Étape 2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

Étape 3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm 1$

Étape 4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = 1$

Étape 4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - 1$

Étape 4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = 1, - 1$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = 1$ .

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Étape 6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (1)$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - 0$

Étape 6.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - 1$ .

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Étape 7.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- 1)$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 7.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 7.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$x = π n$ , pour tout entier $n$