Trigonométrie Exemples

$\frac{4}{3} π r^{3} = 36 π$

Étape 1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.1

Simplifiez $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$ .

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Étape 2.1.1.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $\frac{3}{4 π}$ par $1$ .

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.1.1.4.1

Factorisez $π$ à partir de $4 π$ .

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.4.2

Factorisez $π$ à partir de $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.5

Associez $\frac{4}{3}$ et $r^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 r^{3}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.6

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{4 r^{3}}{3}$ .

$\frac{3 (4 r^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.7

Multipliez.

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Étape 2.1.1.7.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.7.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.8

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 2.1.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.1.1.8.2

Divisez $r^{3}$ par $1$ .

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (36 π)$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $π$ à partir de $\frac{4}{3} π$ .

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (36 π)$

Étape 2.2.1.1.2

Factorisez $π$ à partir de $36 π$ .

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

Étape 2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$r^{3} = \frac{1}{π \frac{4}{3}} (π \cdot 36)$

Étape 2.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3}} \cdot 36$

Étape 2.2.1.2

Associez $\frac{1}{\frac{4}{3}}$ et $36$ .

$r^{3} = \frac{36}{\frac{4}{3}}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r^{3} = 36 (\frac{3}{4})$

Étape 2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$r^{3} = 4 (9) \frac{3}{4}$

Étape 2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$r^{3} = 4 \cdot 9 \frac{3}{4}$

Étape 2.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$r^{3} = 9 \cdot 3$

Étape 2.2.1.5

Multipliez $9$ par $3$ .

$r^{3} = 27$

Étape 3

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$r^{3} - 27 = 0$

Étape 4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$r^{3} - 3^{3} = 0$

Étape 4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = r$ et $b = 3$ .

$(r - 3) (r^{2} + r \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $r$ .

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 3^{2}) = 0$

Étape 4.3.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r - 3 = 0$

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

Étape 6

Définissez $r - 3$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 6.1

Définissez $r - 3$ égal à $0$ .

$r - 3 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 3$

Étape 7

Définissez $r^{2} + 3 r + 9$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 7.1

Définissez $r^{2} + 3 r + 9$ égal à $0$ .

$r^{2} + 3 r + 9 = 0$

Étape 7.2

Résolvez $r^{2} + 3 r + 9 = 0$ pour $r$ .

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Étape 7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 9$ dans la formule quadratique et résolvez pour $r$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3

Simplifiez

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

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Étape 7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.3

Soustrayez $36$ de $9$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.4

Réécrivez $- 27$ comme $- 1 (27)$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (27)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$r = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 7.2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$r = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$r = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r - 3) (r^{2} + 3 r + 9) = 0$ vraie.

$r = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$