Trigonométrie Exemples

$5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$

Étape 1

Élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Étape 2

Simplifiez ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez ${(5 \sin (t) + 5 \cos (t))}^{2}$ comme $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ .

$(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.2

Développez $(5 \sin (t) + 5 \cos (t)) (5 \sin (t) + 5 \cos (t))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sin (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t) + 5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \sin (t) (5 \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $5 \sin (t) (5 \sin (t))$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin (t) \sin (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.3

Élevez $\sin (t)$ à la puissance $1$ .

$25 (\sin^{1} (t) \sin^{1} (t)) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 {\sin (t)}^{1 + 1} + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 5 \sin (t) (5 \cos (t)) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 5 \cos (t) (5 \sin (t)) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 5 \cos (t) (5 \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5 \cos (t) (5 \cos (t))$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \cos (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.4.2

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.4.3

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 {\cos (t)}^{1 + 1} = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \sin (t) \cos (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $25 \sin (t) \cos (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.3.3

Additionnez $25 \cos (t) \sin (t)$ et $25 \cos (t) \sin (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) + 25 \cos^{2} (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.1

Déplacez $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 \sin^{2} (t) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.4.2

Factorisez $25$ à partir de $25 \sin^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 \cos^{2} (t) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.4.3

Factorisez $25$ à partir de $25 \cos^{2} (t)$ .

$25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.4.4

Factorisez $25$ à partir de $25 (\sin^{2} (t)) + 25 (\cos^{2} (t))$ .

$25 (\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t)) + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$25 \cdot 1 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 2.6

Multipliez $25$ par $1$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = {(- 5)}^{2}$

Étape 3

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$25 + 50 \cos (t) \sin (t) = 25$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $t$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$50 \cos (t) \sin (t) = 25 - 25$

Étape 4.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$50 \cos (t) \sin (t) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (t) = 0$

$\sin (t) = 0$

Étape 6

Définissez $\cos (t)$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 6.1

Définissez $\cos (t)$ égal à $0$ .

$\cos (t) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $\cos (t) = 0$ pour $t$ .

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Étape 6.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du cosinus.

$t = \arccos (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$t = \frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$t = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 6.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$t = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$t = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 6.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$t = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 6.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$t = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 6.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$t = \frac{3 π}{2}$

Étape 6.2.5

Déterminez la période de $\cos (t)$ .

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Étape 6.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.6

La période de la fonction $\cos (t)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Définissez $\sin (t)$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 7.1

Définissez $\sin (t)$ égal à $0$ .

$\sin (t) = 0$

Étape 7.2

Résolvez $\sin (t) = 0$ pour $t$ .

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Étape 7.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $t$ de l’intérieur du sinus.

$t = \arcsin (0)$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$t = 0$

Étape 7.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$t = π - 0$

Étape 7.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$t = π$

Étape 7.2.5

Déterminez la période de $\sin (t)$ .

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Étape 7.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.2.6

La période de la fonction $\sin (t)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$t = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $50 \cos (t) \sin (t) = 0$ vraie.

$t = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les réponses.

$t = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Vérifiez chaque solution en la remplaçant dans $5 \sin (t) + 5 \cos (t) = - 5$ et en résolvant.

$t = π + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$