Trigonométrie Exemples

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Étape 1

Déterminez la forme normalisée de l’hyperbole.

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Étape 1.1

Ajoutez $889$ aux deux côtés de l’équation.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Étape 1.2

Complétez le carré pour $11 x^{2} + 22 x$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Étape 1.2.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.2.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.2.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun à $22$ et $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{11}{11}$

Étape 1.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{11}{11}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$d = 1$

Étape 1.2.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.2.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.2.1.1

Élevez $22$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Étape 1.2.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Étape 1.2.4.2.1.3

Divisez $484$ par $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Étape 1.2.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$e = 0 - 11$

Étape 1.2.4.2.2

Soustrayez $11$ de $0$ .

$e = - 11$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Étape 1.3

Remplacez $11 x^{2} + 22 x$ par $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ dans l’équation $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Étape 1.4

Déplacez $- 11$ du côté droit de l’équation en ajoutant $11$ des deux côtés.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Étape 1.5

Complétez le carré pour $- 25 y^{2} + 250 y$ .

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Étape 1.5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Étape 1.5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 1.5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 1.5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun à $250$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.3.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Étape 1.5.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Étape 1.5.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{125}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun à $125$ et $- 25$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Étape 1.5.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$d = - 5$

Étape 1.5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 1.5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Élevez $250$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Étape 1.5.4.2.1.3

Divisez $62500$ par $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Étape 1.5.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Étape 1.5.4.2.2

Additionnez $0$ et $625$ .

$e = 625$

Étape 1.5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Étape 1.6

Remplacez $- 25 y^{2} + 250 y$ par $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ dans l’équation $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Étape 1.7

Déplacez $625$ du côté droit de l’équation en ajoutant $625$ des deux côtés.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Étape 1.8

Simplifiez $889 + 11 - 625$ .

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Étape 1.8.1

Additionnez $889$ et $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Étape 1.8.2

Soustrayez $625$ de $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Étape 1.9

Divisez chaque terme par $275$ pour rendre le côté droit égal à un.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Étape 1.10

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une hyperbole. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer les sommets et les asymptotes de l’hyperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette hyperbole avec celles de la forme normalisée. La variable $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine, $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Étape 4

Déterminez les sommets.

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Étape 4.1

Le premier sommet d’une hyperbole peut être déterminé en ajoutant $a$ à $h$ .

$(h + a, k)$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(4, 5)$

Étape 4.3

Le deuxième sommet d’une hyperbole peut être déterminé en soustrayant $a$ à $h$ .

$(h - a, k)$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $a$ et $k$ dans la formule et simplifiez.

$(- 6, 5)$

Étape 4.5

Les sommets d’une hyperbole suivent la forme de $(h \pm a, k)$ . Les hyperboles ont deux sommets.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Étape 5