Trigonométrie Exemples

$f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 4$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 8 \cos^{2} (x) - 4$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$ .

$8 \cos^{2} (x) - 4 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$8 \cos^{2} (x) = 4$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $8 \cos^{2} (x) = 4$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $8 \cos^{2} (x) = 4$ par $8$ .

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cos^{2} (x)}{8} = \frac{4}{8}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $\cos^{2} (x)$ par $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4}{8}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 1.2.3.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4 (1)}{8}$

Étape 1.2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.3.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos^{2} (x) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Étape 1.2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.5.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.8

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 1.2.8.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.8.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.2.8.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.8.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 1.2.8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 1.2.8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Étape 1.2.8.4.3.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 1.2.8.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.8.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.9

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.9.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.2.9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.9.2.1

La valeur exacte de $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ est $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.9.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.9.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Étape 1.2.9.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.9.4.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.9.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Étape 1.2.9.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.4.3.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Étape 1.2.9.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 1.2.9.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.9.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.10

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 8 \cos^{2} (0) - 4$

Étape 2.2.2

Simplifiez $8 \cos^{2} (0) - 4$ .

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$y = 8 \cdot 1^{2} - 4$

Étape 2.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 8 \cdot 1 - 4$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$y = 8 - 4$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$y = 4$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , pour tout entier $n$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 4