Trigonométrie Exemples

$a = 9$ , $b = 7$ , $A = 60$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{7} = \frac{\sin (60)}{9}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $B$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (60)}{9}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $7 \frac{\sin (60)}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (B) = 7 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{9}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (B) = 7 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9})$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\sin (B) = 7 \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\sin (B) = 7 \frac{\sqrt{3}}{18}$

Étape 3.2.2.1.4

Associez $7$ et $\frac{\sqrt{3}}{18}$ .

$\sin (B) = \frac{7 \sqrt{3}}{18}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (\frac{7 \sqrt{3}}{18})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{7 \sqrt{3}}{18})$ .

$B = 42.34361264$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 42.34361264$

Étape 3.6

Soustrayez $42.34361264$ de $180$ .

$B = 137.65638735$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $B = 42.34361264$ .

$B = 42.34361264, 137.65638735$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$B = 42.34361264$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$60 + C + 42.34361264 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $C$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Additionnez $60$ et $42.34361264$ .

$C + 102.34361264 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $102.34361264$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 102.34361264$

Étape 5.2.2

Soustrayez $102.34361264$ de $180$ .

$C = 77.65638735$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (77.65638735)}{c} = \frac{\sin (60)}{9}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (77.65638735)$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sin (60)}{9}$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{9}$

Étape 8.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 8.1.4

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{1}{9}$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c, 18$

Étape 8.2.2

Since $c, 18$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 18$ then find LCM for the variable part $c^{1}$ .

Étape 8.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 8.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 8.2.5

Les facteurs premiers pour $18$ sont $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.5.1

$18$ a des facteurs de $2$ et $9$ .

$2 \cdot 9$

Étape 8.2.5.2

$9$ a des facteurs de $3$ et $3$ .

$2 \cdot 3 \cdot 3$

Étape 8.2.6

Multipliez $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 \cdot 3$

Étape 8.2.6.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$18$

Étape 8.2.7

Le facteur pour $c^{1}$ est $c$ lui-même.

$c^{1} = c$

$c$ se produit $1$ fois.

Étape 8.2.8

Le plus petit multiple commun de $c^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$c$

Étape 8.2.9

Le plus petit multiple commun pour $c, 18$ est la partie numérique $18$ multipliée par la partie variable.

$18 c$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$ par $18 c$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.97688313}{c} = \frac{\sqrt{3}}{18}$ par $18 c$ .

$\frac{0.97688313}{c} (18 c) = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$18 \frac{0.97688313}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $18 \frac{0.97688313}{c}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.2.1

Associez $18$ et $\frac{0.97688313}{c}$ .

$\frac{18 \cdot 0.97688313}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Étape 8.3.2.2.2

Multipliez $18$ par $0.97688313$ .

$\frac{17.58389644}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Étape 8.3.2.3

Annulez le facteur commun de $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{17.58389644}{c} c = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Étape 8.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1

Annulez le facteur commun de $18$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.1.1

Factorisez $18$ à partir de $18 c$ .

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 (c))$

Étape 8.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$17.58389644 = \frac{\sqrt{3}}{18} (18 c)$

Étape 8.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$17.58389644 = \sqrt{3} c$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{3} c = 17.58389644$ .

$\sqrt{3} c = 17.58389644$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} c = 17.58389644$ par $\sqrt{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} c = 17.58389644$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{3}} = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Multipliez $\frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{17.58389644}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.4.2.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.2.1

Multipliez $\frac{17.58389644}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.4.2.3.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.4.2.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.4.2.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.4.2.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.4.2.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.4.2.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.4.2.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.2.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.4.2.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.4.2.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$c = \frac{17.58389644 \sqrt{3}}{3}$

Étape 8.4.2.3.3

Multipliez $17.58389644$ par $\sqrt{3}$ .

$c = \frac{30.45620204}{3}$

Étape 8.4.2.3.4

Divisez $30.45620204$ par $3$ .

$c = 10.15206734$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 60$

$B = 42.34361264$

$C = 77.65638735$

$a = 9$

$b = 7$

$c = 10.15206734$