Trigonométrie Exemples

$\sqrt{3} \csc (θ) - 2 = 0$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3} \csc (θ) = 2$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ par $\sqrt{3}$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{3} \csc (θ) = 2$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3} \csc (θ)}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\csc (θ)$ par $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 3

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la cosécante.

$θ = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Étape 4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 5

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - \frac{π}{3}$

Étape 6

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 7

Déterminez la période de $\csc (θ)$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8

La période de la fonction $\csc (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{3} + 2 π (0)$

Étape 9.1.2

Simplifiez

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Étape 9.1.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{3} + 0 π$

Étape 9.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{3}$ et $0$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 9.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Étape 9.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

Étape 9.2.2

Simplifiez

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Étape 9.2.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $\frac{2 π}{3}$ et $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 9.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$