Trigonométrie Exemples

$4 \sin^{2} (x) - 3 = 0$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$4 \sin^{2} (x) = 3$

Étape 2

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (x) = 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin^{2} (x) = 3$ par $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 7.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 7.4

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 8.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 8.4.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 8.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 8.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 8.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.6.3

Associez les fractions.

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Étape 8.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 8.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.6.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 8.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $\frac{π}{3} + 2 π n$ et $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{3} + π (0)$

Étape 11.1.2

Simplifiez

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Étape 11.1.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{3} + 0$

Étape 11.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{3}$ et $0$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 11.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 11.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (0)$

Étape 11.2.2

Simplifiez

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{2 π}{3} + 0$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $\frac{2 π}{3}$ et $0$ .

$\frac{2 π}{3}$

Étape 11.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

Étape 11.3

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.3.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{3} + π (1)$

Étape 11.3.2

Simplifiez

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Étape 11.3.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{3} + π$

Étape 11.3.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 11.3.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Étape 11.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 3}{3}$

Étape 11.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 3 \cdot π}{3}$

Étape 11.3.2.4.2

Additionnez $π$ et $3 π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 11.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{4 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

Étape 11.4

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 11.4.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{2 π}{3} + π (1)$

Étape 11.4.2

Simplifiez

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Étape 11.4.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{2 π}{3} + π$

Étape 11.4.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + π \cdot \frac{3}{3}$

Étape 11.4.2.3

Associez les fractions.

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Étape 11.4.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \frac{π \cdot 3}{3}$

Étape 11.4.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π + π \cdot 3}{3}$

Étape 11.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.2.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{2 π + 3 \cdot π}{3}$

Étape 11.4.2.4.2

Additionnez $2 π$ et $3 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 11.4.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{5 π}{3}$