Trigonométrie Exemples

$\sec (\frac{3 θ}{2}) = - 2$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la sécante.

$\frac{3 θ}{2} = arcsec (- 2)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $arcsec (- 2)$ est $\frac{2 π}{3}$ .

$\frac{3 θ}{2} = \frac{2 π}{3}$

Étape 3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{3 \cdot 3}$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$θ = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Étape 5

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$\frac{3 θ}{2} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Étape 6

Résolvez $θ$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (2 π - \frac{2 π}{3})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.2.1.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2}{3} (\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3})$

Étape 6.2.2.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.1.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{6 π - 2 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Soustrayez $2 π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$

Étape 6.2.2.1.4

Multipliez $\frac{2}{3} \cdot \frac{4 π}{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{4 π}{3}$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{3 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$θ = \frac{8 π}{3 \cdot 3}$

Étape 6.2.2.1.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$θ = \frac{8 π}{9}$

Étape 7

Déterminez la période de $\sec (\frac{3 θ}{2})$ .

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Étape 7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.2

Remplacez $b$ par $\frac{3}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Étape 7.3

$\frac{3}{2}$ est d’environ $1.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Étape 7.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{3}$

Étape 7.5

Multipliez $2 π \frac{2}{3}$ .

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Étape 7.5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Étape 7.5.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 8

La période de la fonction $\sec (\frac{3 θ}{2})$ est $\frac{4 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{4 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{4 π}{9} + \frac{4 π n}{3}, \frac{8 π}{9} + \frac{4 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Étape 9.1.2

Simplifiez

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Étape 9.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.1.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $4 π (0)$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Étape 9.1.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Étape 9.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Étape 9.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Étape 9.1.2.1.1.2.4

Divisez $4 π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{4 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Étape 9.1.2.1.2

Multipliez $4 π (0)$ .

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Étape 9.1.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$\frac{4 π}{9} + 0 π$

Étape 9.1.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{4 π}{9} + 0$

Étape 9.1.2.2

Additionnez $\frac{4 π}{9}$ et $0$ .

$\frac{4 π}{9}$

Étape 9.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{4 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}$

Étape 9.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π (0)}{3}$

Étape 9.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $4 π (0)$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3}$

Étape 9.2.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Étape 9.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 π}{9} + \frac{3 (4 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Étape 9.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 π}{9} + \frac{4 π \cdot (0)}{1}$

Étape 9.2.2.1.1.2.4

Divisez $4 π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{8 π}{9} + 4 π \cdot (0)$

Étape 9.2.2.1.2

Multipliez $4 π (0)$ .

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Étape 9.2.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$\frac{8 π}{9} + 0 π$

Étape 9.2.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{8 π}{9} + 0$

Étape 9.2.2.2

Additionnez $\frac{8 π}{9}$ et $0$ .

$\frac{8 π}{9}$

Étape 9.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{8 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}$

Étape 9.3

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 9.3.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π (1)}{3}$

Étape 9.3.2

Simplifiez

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3}$

Étape 9.3.2.2

Pour écrire $\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 9.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.3.2.3.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Étape 9.3.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{4 π}{9} + \frac{4 π \cdot 3}{9}$

Étape 9.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 π + 4 π \cdot 3}{9}$

Étape 9.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{4 π + 12 π}{9}$

Étape 9.3.2.5.2

Additionnez $4 π$ et $12 π$ .

$\frac{16 π}{9}$

Étape 9.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{16 π}{9}$ .

$θ = \frac{4 π}{9}, \frac{8 π}{9}, \frac{16 π}{9}$