Trigonométrie Exemples

$\frac{5 \sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 1}$

Étape 1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{5 \sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} - 1}$ par $\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$ .

$\frac{(5 \sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1) (\sqrt{3} + 1)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(5 \sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} + 1)}{{\sqrt{3}}^{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(5 \sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3

Développez $(5 \sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) - 2 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $5 \sqrt{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 {\sqrt{3}}^{2} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \cdot 3^{1} + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{5 \cdot 3 + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 + 5 \sqrt{3} \cdot 1 - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{15 + 5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2 \cdot 1}{2}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{15 + 5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - 2}{2}$

Étape 4.2

Soustrayez $2$ de $15$ .

$\frac{13 + 5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Étape 4.3

Soustrayez $2 \sqrt{3}$ de $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{13 + 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{13 + 3 \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$9.09807621 \dots$