Trigonométrie Exemples

${(5 v + 2)}^{6}$

Étape 1

Le triangle de Pascal peut être affiché ainsi :

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Le triangle peut être utilisé pour calculer les coefficients du développement de ${(a + b)}^{n}$ en prenant l’exposant $n$ et en ajoutant $1$ . Les coefficients correspondront à la droite $n + 1$ du triangle. Pour ${(5 v + 2)}^{6}$ , $n = 6$ les coefficients du développement correspondront donc à la droite $7$ .

Étape 2

Le développement suit la règle ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Les valeurs des coefficients, à partir du triangle, sont $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a$ $5 v$ et $b$ $2$ dans l’expression.

$1 {(5 v)}^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Multipliez ${(5 v)}^{6}$ par $1$ .

${(5 v)}^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $5 v$ .

$5^{6} v^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.3

Élevez $5$ à la puissance $6$ .

$15625 v^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$15625 v^{6} \cdot 1 + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.5

Multipliez $15625$ par $1$ .

$15625 v^{6} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $5 v$ .

$15625 v^{6} + 6 (5^{5} v^{5}) {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.7

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$15625 v^{6} + 6 (3125 v^{5}) {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.8

Multipliez $3125$ par $6$ .

$15625 v^{6} + 18750 v^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.9

Évaluez l’exposant.

$15625 v^{6} + 18750 v^{5} \cdot 2 + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.10

Multipliez $2$ par $18750$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.11

Appliquez la règle de produit à $5 v$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 (5^{4} v^{4}) {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.12

Élevez $5$ à la puissance $4$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 (625 v^{4}) {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.13

Multipliez $625$ par $15$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 9375 v^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.14

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 9375 v^{4} \cdot 4 + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.15

Multipliez $4$ par $9375$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.16

Appliquez la règle de produit à $5 v$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 (5^{3} v^{3}) {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.17

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 (125 v^{3}) {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.18

Multipliez $125$ par $20$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 2500 v^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.19

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 2500 v^{3} \cdot 8 + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.20

Multipliez $8$ par $2500$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.21

Appliquez la règle de produit à $5 v$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 (5^{2} v^{2}) {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.22

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 (25 v^{2}) {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.23

Multipliez $25$ par $15$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 375 v^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.24

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 375 v^{2} \cdot 16 + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.25

Multipliez $16$ par $375$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.26

Simplifiez

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 6 (5 v) {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.27

Multipliez $5$ par $6$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 30 v {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.28

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 30 v \cdot 32 + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.29

Multipliez $32$ par $30$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.30

Multipliez ${(5 v)}^{0}$ par $1$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.31

Appliquez la règle de produit à $5 v$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 5^{0} v^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.32

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 v^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.33

Multipliez $v^{0}$ par $1$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + v^{0} {(2)}^{6}$

Étape 4.34

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 {(2)}^{6}$

Étape 4.35

Multipliez ${(2)}^{6}$ par $1$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + {(2)}^{6}$

Étape 4.36

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 64$