Trigonométrie Exemples

$\sin (θ) > 0$ , $\cos (θ) < 0$

Étape 1

Simplifiez la première inégalité.

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Étape 1.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ > \arcsin (0)$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$θ > 0$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - 0$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$θ = π$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.5

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 1.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.6

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.7

Consolidez les réponses.

$θ = π n$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < θ < π$

$π < θ < 2 π$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < θ < π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < θ < π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$θ = 2$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.9.1.2

Remplacez $θ$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (2) > 0$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.9.1.3

Le côté gauche $0.90929742$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $π < θ < 2 π$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $π < θ < 2 π$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$θ = 5$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.9.2.2

Remplacez $θ$ par $5$ dans l’inégalité d’origine.

$\sin (5) > 0$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.9.2.3

Le côté gauche $- 0.95892427$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux et $\cos (θ) < 0$

Étape 1.9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < θ < π$ Vrai

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

$0 < θ < π$ Vrai

$π < θ < 2 π$ False and $\cos (θ) < 0$

Étape 1.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $\cos (θ) < 0$

Étape 2

Simplifiez la deuxième inégalité.

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Étape 2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ < \arccos (0)$

Étape 2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ < \frac{π}{2}$

Étape 2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

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Étape 2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Étape 2.7

Consolidez les réponses.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = \frac{π}{2} + π n$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = 3$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $θ$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $\cos (3) < 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 0.98999249$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and True

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $θ = 6$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $θ$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $\cos (6) < 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $0.96017028$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and False

Étape 2.9.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Faux

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ and $\frac{π}{2} < θ < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{2}$ Faux

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 + 2 π n < θ < π + 2 π n$ et $\frac{π}{2} + 2 π n < θ < \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Étape 3