Trigonométrie Exemples

$y = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ par rapport à $θ$ est $4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\cos (\frac{3 θ}{2})]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 θ}{2}$ .

$4 (- \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [\frac{3 θ}{2}])$

Étape 1.3.2

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $\frac{3 θ}{2}$ par rapport à $θ$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- 4 \sin (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 1.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 4$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.3.2

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$\frac{- 12}{2} \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.3.3

Associez $\frac{- 12}{2}$ et $\sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.3.4

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $2$ .

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Étape 1.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 12 \sin (\frac{3 θ}{2})$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{1} \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.3.4.2.4

Divisez $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ par $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})$ par rapport à $θ$ est $- 6 \frac{d}{d θ} [\sin (\frac{3 θ}{2})]$ .

$f'' (θ) = - 6 \frac{d}{d θ} \sin (\frac{3 θ}{2})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = \frac{3 θ}{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (u) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 θ}{2}$ .

$f'' (θ) = - 6 (\cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (\frac{3 θ}{2}))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $\frac{3 θ}{2}$ par rapport à $θ$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$f'' (θ) = - 6 \cos (\frac{3 θ}{2}) (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ))$

Étape 2.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{3 \cdot - 6}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18}{2} \cdot \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} (θ)$

Étape 2.3.2.3

Associez $\frac{- 18}{2}$ et $\cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Étape 2.3.2.4

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 18 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Étape 2.3.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 (1)} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Étape 2.3.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (θ) = \frac{2 (- 9 \cos (\frac{3 θ}{2}))}{2 \cdot 1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Étape 2.3.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (θ) = \frac{- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})}{1} \cdot \frac{d}{d θ} (θ)$

Étape 2.3.2.4.2.4

Divisez $- 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$ par $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \frac{d}{d θ} θ$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2}) \cdot 1$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$f'' (θ) = - 9 \cos (\frac{3 θ}{2})$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 6 \sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 \sin (\frac{3 θ}{2})}{- 6} = \frac{0}{- 6}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{3 θ}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = \frac{0}{- 6}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 6$ .

$\sin (\frac{3 θ}{2}) = 0$

Étape 5

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{3 θ}{2} = \arcsin (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{3 θ}{2} = 0$

Étape 7

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 θ = 0$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $3 θ = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $3 θ = 0$ par $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $θ$ par $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$θ = 0$

Étape 9

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 θ}{2} = π - 0$

Étape 10

Résolvez $θ$ .

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Étape 10.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 10.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2}$ .

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Étape 10.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 θ}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 10.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 10.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 θ$ .

$\frac{1}{3} (3 (θ)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 10.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 θ) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 10.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$θ = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 10.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Étape 10.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$θ = \frac{2}{3} π$

Étape 10.2.2.1.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $π$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Étape 11

La solution de l’équation est $\frac{3 θ}{2} = 0$ .

$θ = 0, \frac{2 π}{3}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $θ = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 9 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 13.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (0)$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Étape 13.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Étape 13.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 9 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Étape 13.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 9 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Étape 13.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$- 9 \cos (3 \cdot (0))$

Étape 13.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$- 9 \cos (0)$

Étape 13.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 9 \cdot 1$

Étape 13.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9$

Étape 14

$θ = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$θ = 0$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $θ = 0$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $θ$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 (0)}{2})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 15.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (0)$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Étape 15.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Étape 15.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (0) = 4 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Étape 15.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (0) = 4 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Étape 15.2.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$f (0) = 4 \cos (3 \cdot (0))$

Étape 15.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f (0) = 4 \cos (0)$

Étape 15.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 4 \cdot 1$

Étape 15.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$f (0) = 4$

Étape 15.2.5

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $θ = \frac{2 π}{3}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 9 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Associez $3$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Étape 17.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Étape 17.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 17.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 17.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Étape 17.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Étape 17.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$- 9 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Étape 17.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 9 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Étape 17.3.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 17.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 9 \cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 17.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$- 9 \cos (π)$

Étape 17.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 9 (- \cos (0))$

Étape 17.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 9 (- 1 \cdot 1)$

Étape 17.7

Multipliez $- 9 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 17.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 9 \cdot - 1$

Étape 17.7.2

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$9$

Étape 18

$θ = \frac{2 π}{3}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$θ = \frac{2 π}{3}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $θ = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $θ$ par $\frac{2 π}{3}$ dans l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Associez $3$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Étape 19.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Étape 19.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 19.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 19.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Étape 19.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Étape 19.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Étape 19.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Étape 19.2.3.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 19.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 19.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cos (π)$

Étape 19.2.5

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- \cos (0))$

Étape 19.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 19.2.7

Multipliez $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 19.2.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = 4 \cdot - 1$

Étape 19.2.7.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Étape 19.2.8

La réponse finale est $- 4$ .

$y = - 4$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (θ) = 4 \cos (\frac{3 θ}{2})$ .

$(0, 4)$ est un maximum local

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ est un minimum local

Étape 21