Trigonométrie Exemples

${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2} + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$ comme $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ .

$(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.2

Développez $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 1.3.1.1.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.1.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ)) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

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Étape 1.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + 1 \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.3.2

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.3.3

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.3.4

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1} + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.3.3

Soustrayez $\cos (θ) \sin (θ)$ de $- \cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.4

Déplacez $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$

Étape 1.6

Réécrivez ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ comme $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + (\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$

Étape 1.7

Développez $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ))$

Étape 1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ))$

Étape 1.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Étape 1.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 1.8.1.1.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Étape 1.8.1.1.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Étape 1.8.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Étape 1.8.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Étape 1.8.1.2

Multipliez $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 1.8.1.2.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ)$

Étape 1.8.1.2.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)$

Étape 1.8.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1}$

Étape 1.8.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Étape 1.8.2

Réorganisez les facteurs de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Étape 1.8.3

Additionnez $\cos (θ) \sin (θ)$ et $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Étape 1.9

Déplacez $\cos^{2} (θ)$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 1.10

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Étape 1.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.11.1

Remettez dans l’ordre $2 \cos (θ)$ et $\sin (θ)$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + \sin (θ) (2 \cos (θ))$

Étape 1.11.2

Remettez dans l’ordre $\sin (θ)$ et $2$ .

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 1.11.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$1 - 2 \cos (θ) \sin (θ) + 1 + \sin (2 θ)$

Étape 2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 \cos (θ) \sin (θ) + 2 + \sin (2 θ)$