Trigonométrie Exemples

$y = e^{x - 1}$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = e^{y - 1}$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $e^{y - 1} = x$ .

$e^{y - 1} = x$

Étape 2.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

Étape 2.3

Développez le côté gauche.

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Étape 2.3.1

Développez $\ln (e^{y - 1})$ en déplaçant $y - 1$ hors du logarithme.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Étape 2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $y - 1$ par $1$ .

$y - 1 = \ln (x)$

Étape 2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \ln (x) + 1$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ est l’inverse de $f (x) = e^{x - 1}$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 1$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

Étape 4.2.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Étape 4.2.3.3

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

Étape 4.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.2.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (\ln (x) + 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

Étape 4.3.3

Associez les termes opposés dans $(\ln (x) + 1) - 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $\ln (x)$ et $0$ .

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

Étape 4.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (x) + 1) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ est l’inverse de $f (x) = e^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$