Trigonométrie Exemples

$y = \sqrt{4 - x} + 1$

Étape 1

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{4 - y} + 1$

Étape 2

Résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{4 - y} + 1 = x$ .

$\sqrt{4 - y} + 1 = x$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{4 - y} = x - 1$

Étape 2.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{4 - y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - y}$ comme ${(4 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(4 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(4 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(4 - y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Simplifiez

$4 - y = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$4 - y = (x - 1) (x - 1)$

Étape 2.4.3.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 - y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Étape 2.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Étape 2.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 - y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 - y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$4 - y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$4 - y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Étape 2.4.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$4 - y = x^{2} - x - x + 1$

Étape 2.4.3.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$4 - y = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 2.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.5.1.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- y = x^{2} - 2 x + 1 - 4$

Étape 2.5.1.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- y = x^{2} - 2 x - 3$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- y = x^{2} - 2 x - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = x^{2} - 2 x - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + \frac{- 2 x}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 x}{- 1}$ .

$y = - x^{2} - 1 \cdot (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot (- 2 x)$ comme $- (- 2 x)$ .

$y = - x^{2} - (- 2 x) + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + \frac{- 3}{- 1}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

Étape 3

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Étape 4

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 4.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 4.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 4.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - {(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez ${(\sqrt{4 - x} + 1)}^{2}$ comme $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.2

Développez $(\sqrt{4 - x} + 1) (\sqrt{4 - x} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} (\sqrt{4 - x} + 1) + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 (\sqrt{4 - x} + 1)) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.3.1.1

Multipliez $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

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Étape 4.2.3.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{4 - x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{4 - x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{1 + 1} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({\sqrt{4 - x}}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ comme $4 - x$ .

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Étape 4.2.3.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.3.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ({(4 - x)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - ((4 - x) + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.3

Multipliez $\sqrt{4 - x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + 1 \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.4

Multipliez $\sqrt{4 - x}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1 \cdot 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.1.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (4 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 1) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.3.3

Additionnez $\sqrt{4 - x}$ et $\sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - (5 - x + 2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 1 \cdot 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.5

Simplifiez

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Étape 4.2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.5.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 4.2.3.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + 1 x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.5.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - (2 \sqrt{4 - x}) + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 (\sqrt{4 - x} + 1) + 3$

Étape 4.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 \cdot 1 + 3$

Étape 4.2.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$

Étape 4.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.2.4.1

Associez les termes opposés dans $- 5 + x - 2 \sqrt{4 - x} + 2 \sqrt{4 - x} + 2 + 3$ .

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Étape 4.2.4.1.1

Additionnez $- 2 \sqrt{4 - x}$ et $2 \sqrt{4 - x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 0 + 2 + 3$

Étape 4.2.4.1.2

Additionnez $- 5 + x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = - 5 + x + 2 + 3$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $- 5$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x - 3 + 3$

Étape 4.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 4.2.4.3.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x + 0$

Étape 4.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - x} + 1) = x$

Étape 4.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 4.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 4.3.2

Évaluez $f (- x^{2} + 2 x + 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 - (- x^{2} + 2 x + 3)} + 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez $- - x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Étape 4.3.3.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 3} + 1$

Étape 4.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 1 \cdot 3} + 1$

Étape 4.3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{4 + x^{2} - 2 x - 3} + 1$

Étape 4.3.3.3

Soustrayez $3$ de $4$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} + 1$

Étape 4.3.3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.3.3.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}} + 1$

Étape 4.3.3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 4.3.3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + 1$

Étape 4.3.3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}} + 1$

Étape 4.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x - 1 + 1$

Étape 4.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 4.3.4.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x + 0$

Étape 4.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- x^{2} + 2 x + 3) = x$

Étape 4.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{4 - x} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 2 x + 3$