Trigonométrie Exemples

$\sqrt{2} \sin (x) + \sqrt{2} \cos (x) > 0$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2

Séparez les fractions.

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 4

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} \tan (x) + \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\cos (x)} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 8

Divisez $0$ par $1$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0 \sec (x)$

Étape 9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$\sqrt{2} \tan (x) + \sqrt{2} > 0$

Étape 10

Soustrayez $\sqrt{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ par $\sqrt{2}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $\sqrt{2} \tan (x) > - \sqrt{2}$ par $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2} \tan (x)}{\sqrt{2}} > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 11.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) > \frac{- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 11.3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (x) > - 1$

Étape 12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x > \arctan (- 1)$

Étape 13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x > - \frac{π}{4}$

Étape 14

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Étape 15

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 15.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 15.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 17

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 17.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 17.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 17.3

Associez les fractions.

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Étape 17.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 17.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 17.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 17.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 17.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 18

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 19

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$

Étape 20

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 20.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 20.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 20.1.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\sqrt{2} \sin (4) + \sqrt{2} \cos (4) > 0$

Étape 20.1.3

Le côté gauche $- 1.99467202$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 20.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{7 π}{4}$ Faux

Étape 21

Comme aucun nombre ne se trouve dans l’intervalle, l’inégalité n’a pas de solution.

Aucune solution