Trigonométrie Exemples

$3$ , $125 i$

Étape 1

Les racines sont les points où le graphe croise l’axe des x $(y = 0)$ .

$y = 0$ aux racines

Étape 2

La racine sur $x = 3$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (3) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 3$

Étape 3

La racine sur $x = 125 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (125 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x - 125 i$

Étape 4

La racine sur $x = - 125 i$ a été trouvée en résolvant $x$ lorsque $x - (- 125 i) = y$ et $y = 0$ .

Le facteur est $x + 125 i$

Étape 5

Associez tous les facteurs en une équation unique.

$y = (x - 3) (x - 125 i) (x + 125 i)$

Étape 6

Multipliez tous les facteurs pour simplifier l’équation $y = (x - 3) (x - 125 i) (x + 125 i)$ .

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Étape 6.1

Développez $(x - 3) (x - 125 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x (x - 125 i) - 3 (x - 125 i)) (x + 125 i)$

Étape 6.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 (x - 125 i)) (x + 125 i)$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = (x \cdot x + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x - 3 (- 125 i)) (x + 125 i)$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 125$ par $- 3$ .

$y = (x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)$

Étape 6.3

Développez $(x^{2} + x (- 125 i) - 3 x + 375 i) (x + 125 i)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$y = x^{2} x + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.4.1.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = x^{2} x + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{2 + 1} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = x^{3} + x^{2} (125 i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.2

Déplacez $125$ à gauche de $x^{2}$ .

$y = x^{3} + 125 \cdot (x^{2} i) + x (- 125 i) x + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x \cdot x (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 125 i) (125 i) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.4

Multipliez $x (- 125 i) (125 i)$ .

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Étape 6.4.1.4.1

Multipliez $125$ par $- 125$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i) i - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 (i i)) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 (i i)) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{1 + 1}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 i^{2}) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x (- 15625 \cdot - 1) - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.6

Multipliez $- 15625$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + x \cdot 15625 - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.7

Déplacez $15625$ à gauche de $x$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 \cdot x - 3 x \cdot x - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.8

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.4.1.8.1

Déplacez $x$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 (x \cdot x) - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.8.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 3 x (125 i) + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.9

Multipliez $125$ par $- 3$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 375 i (125 i)$

Étape 6.4.1.10

Multipliez $375 i (125 i)$ .

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Étape 6.4.1.10.1

Multipliez $125$ par $375$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i i$

Étape 6.4.1.10.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 (i i)$

Étape 6.4.1.10.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 (i i)$

Étape 6.4.1.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{1 + 1}$

Étape 6.4.1.10.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 i^{2}$

Étape 6.4.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x + 46875 \cdot - 1$

Étape 6.4.1.12

Multipliez $46875$ par $- 1$ .

$y = x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Étape 6.4.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.4.2.1

Associez les termes opposés dans $x^{3} + 125 x^{2} i + x^{2} (- 125 i) + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $125 x^{2} i$ et $x^{2} (- 125 i)$ .

$y = x^{3} + 125 i x^{2} - 125 i x^{2} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Étape 6.4.2.1.2

Soustrayez $125 i x^{2}$ de $125 i x^{2}$ .

$y = x^{3} + 0 + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Étape 6.4.2.1.3

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 x i + 375 i x - 46875$

Étape 6.4.2.1.4

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 375 x i$ et $375 i x$ .

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 375 i x + 375 i x - 46875$

Étape 6.4.2.1.5

Additionnez $- 375 i x$ et $375 i x$ .

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} + 0 - 46875$

Étape 6.4.2.1.6

Additionnez $x^{3} + 15625 x - 3 x^{2}$ et $0$ .

$y = x^{3} + 15625 x - 3 x^{2} - 46875$

Étape 6.4.2.2

Déplacez $15625 x$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 15625 x - 46875$

Étape 7