Trigonométrie Exemples

$g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$

Étape 1

Écrivez $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ comme une équation.

$y = \frac{x^{3}}{8} + 16$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{3}}{8} + 16$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$ .

$\frac{y^{3}}{8} + 16 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{3}}{8} = x - 16$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{y^{3}}{8} = 8 (x - 16)$

Étape 3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 8 (x - 16)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez $8 (x - 16)$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 8 x + 8 \cdot - 16$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 16$ .

$y^{3} = 8 x - 128$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{8 x - 128}$

Étape 3.6

Simplifiez $\sqrt[3]{8 x - 128}$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 128$ .

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \sqrt[3]{8 (x) - 128}$

Étape 3.6.1.2

Factorisez $8$ à partir de $- 128$ .

$y = \sqrt[3]{8 x + 8 \cdot - 16}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot - 16$ .

$y = \sqrt[3]{8 (x - 16)}$

Étape 3.6.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{2^{3} (x - 16)}$

Étape 3.6.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $g^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$

Étape 5

Vérifiez si $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ est l’inverse de $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $g^{- 1} (g (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g^{- 1} (g (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16)$ en remplaçant la valeur de $g$ par $g^{- 1}$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{(\frac{x^{3}}{8} + 16) - 16}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $16$ de $16$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8} + 0}$

Étape 5.2.4

Additionnez $\frac{x^{3}}{8}$ et $0$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{8}}$

Étape 5.2.5

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{2^{3}}}$

Étape 5.2.6

Réécrivez $\frac{x^{3}}{2^{3}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{3}$ .

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 \sqrt[3]{{(\frac{x}{2})}^{3}}$

Étape 5.2.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = 2 (\frac{x}{2})$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$g^{- 1} (\frac{x^{3}}{8} + 16) = x$

Étape 5.3

Évaluez $g (g^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$g (g^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $g (2 \sqrt[3]{x - 16})$ en remplaçant la valeur de $g^{- 1}$ par $g$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{{(2 \sqrt[3]{x - 16})}^{3}}{8} + 16$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{x - 16}$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{2^{3} {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

Étape 5.3.3.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {\sqrt[3]{x - 16}}^{3}}{8} + 16$

Étape 5.3.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 16}}^{3}$ comme $x - 16$ .

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Étape 5.3.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 16}$ comme ${(x - 16)}^{\frac{1}{3}}$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {({(x - 16)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{8} + 16$

Étape 5.3.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{8} + 16$

Étape 5.3.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

Étape 5.3.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 {(x - 16)}^{\frac{3}{3}}}{8} + 16$

Étape 5.3.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Étape 5.3.3.1.3.5

Simplifiez

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = \frac{8 (x - 16)}{8} + 16$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez $x - 16$ par $1$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x - 16 + 16$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 16 + 16$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$g (2 \sqrt[3]{x - 16}) = x$

Étape 5.4

Comme $g^{- 1} (g (x)) = x$ et $g (g^{- 1} (x)) = x$ , $g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$ est l’inverse de $g (x) = \frac{x^{3}}{8} + 16$ .

$g^{- 1} (x) = 2 \sqrt[3]{x - 16}$