Trigonométrie Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ comme une équation.

$y = \sqrt[3]{x - 3} + 2$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt[3]{y - 3} + 2$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{y - 3} + 2 = x$ .

$\sqrt[3]{y - 3} + 2 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{y - 3} = x - 2$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y - 3}}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y - 3}$ comme ${(y - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 2)}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 2)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y - 3)}^{1} = {(x - 2)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y - 3 = {(x - 2)}^{3}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 2)}^{3}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y - 3 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$y - 3 = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Étape 3.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + 3$

Étape 3.5.2

Additionnez $- 8$ et $3$ .

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {\sqrt[3]{x - 3}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 3}}^{3}$ comme $x - 3$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = {(x - 3)}^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = (x - 3) + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.1.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 3 {\sqrt[3]{x - 3}}^{2} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} \cdot 2 + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2^{2} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 3 \sqrt[3]{x - 3} \cdot 4 + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.5

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 2^{3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.2.6

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 3 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 8 - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.3

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 {(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2} + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez ${(\sqrt[3]{x - 3} + 2)}^{2}$ comme $(\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ((\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.5

Développez $(\sqrt[3]{x - 3} + 2) (\sqrt[3]{x - 3} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) + 2 (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 (\sqrt[3]{x - 3} + 2)) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.6.1.1

Multipliez $\sqrt[3]{x - 3} \sqrt[3]{x - 3}$ .

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Étape 5.2.3.6.1.1.1

Élevez $\sqrt[3]{x - 3}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.6.1.1.2

Élevez $\sqrt[3]{x - 3}$ à la puissance $1$ .

Étape 5.2.3.6.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.6.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 ({\sqrt[3]{x - 3}}^{2} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.6.1.2

Réécrivez ${\sqrt[3]{x - 3}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + \sqrt[3]{x - 3} \cdot 2 + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.6.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 2 \cdot \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \cdot 2) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.6.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 2 \sqrt[3]{x - 3} + 4) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.6.2

Additionnez $2 \sqrt[3]{x - 3}$ et $2 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 (\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 4 \sqrt[3]{x - 3} + 4) + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 6 (4 \sqrt[3]{x - 3}) - 6 \cdot 4 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.8

Simplifiez

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Étape 5.2.3.8.1

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \cdot 4 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.8.2

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 (\sqrt[3]{x - 3} + 2) - 5$

Étape 5.2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \cdot 2 - 5$

Étape 5.2.3.10

Multipliez $12$ par $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 5 + 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ de $6 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 5$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} - 24 + 12 \sqrt[3]{x - 3} + 24 - 5$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 24$ et $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 5$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 5 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 5$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 0 + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 12 \sqrt[3]{x - 3} - 24 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $24 \sqrt[3]{x - 3}$ de $12 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x - 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 12 \sqrt[3]{x - 3} + 12 \sqrt[3]{x - 3}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 12 \sqrt[3]{x - 3}$ et $12 \sqrt[3]{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x - 3} + 2) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) - 3} + 2$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8} + 2$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 5.3.3.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 5.3.3.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Étape 5.3.3.2.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 5.3.3.2.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 5.3.3.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 5.3.3.2.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 5.3.3.2.1.3.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 5.3.3.2.1.3.5

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

Étape 5.3.3.2.1.3.6

Multipliez $12$ par $2$ .

$- 16 + 24 - 8$

Étape 5.3.3.2.1.3.7

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$8 - 8$

Étape 5.3.3.2.1.3.8

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 5.3.3.2.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

Étape 5.3.3.2.1.5

Divisez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ par $x - 2$ .

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Étape 5.3.3.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

Étape 5.3.3.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Étape 5.3.3.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 5.3.3.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 5.3.3.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Étape 5.3.3.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 5.3.3.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Étape 5.3.3.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 5.3.3.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 5.3.3.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

Étape 5.3.3.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Étape 5.3.3.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

Étape 5.3.3.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

Étape 5.3.3.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x - 8$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

Étape 5.3.3.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

Étape 5.3.3.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 5.3.3.2.1.6

Écrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4)} + 2$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2})} + 2$

Étape 5.3.3.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 5.3.3.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})} + 2$

Étape 5.3.3.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}} + 2$

Étape 5.3.3.2.3

Associez les facteurs similaires.

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Étape 5.3.3.2.3.1

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{(x - 2) {(x - 2)}^{2}} + 2$

Étape 5.3.3.2.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{1 + 2}} + 2$

Étape 5.3.3.2.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Étape 5.3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x - 2 + 2$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 2 + 2$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt[3]{x - 3} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 5$