Trigonométrie Exemples

$\cot (θ) = \frac{4}{3}$ , $\sin (θ) < 0$

Étape 1

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. L’ensemble de solutions pour $θ$ est limité au troisième quadrant car c’est le seul quadrant présent dans les deux ensembles.

La solution se trouve dans le troisième quadrant.

Étape 2

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\cot (θ) = \frac{adjacent}{opposé}$

Étape 3

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 4

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Étape 5

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 5.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{9 + {(- 4)}^{2}}$

Étape 5.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{9 + 16}$

Étape 5.3

Additionnez $9$ et $16$ .

Hypoténuse $= \sqrt{25}$

Étape 5.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{5^{2}}$

Étape 5.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Hypoténuse $= 5$

Étape 6

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{- 3}{5}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (θ) = - \frac{3}{5}$

Étape 7

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 7.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- 4}{5}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{4}{5}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 8.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\tan (θ) = \frac{3}{4}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 4}$

Étape 9.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{5}{- 3}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (θ) = - \frac{5}{3}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = - \frac{3}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{4}{5}$

$\tan (θ) = \frac{3}{4}$

$\cot (θ) = \frac{4}{3}$

$\sec (θ) = - \frac{5}{4}$

$\csc (θ) = - \frac{5}{3}$