Trigonométrie Exemples

$z = - 5 + 5 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 5$ et $b = 5$ .

$| z | = \sqrt{5^{2} + {(- 5)}^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + {(- 5)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{25 + 25}$

Étape 4.3

Additionnez $25$ et $25$ .

$| z | = \sqrt{50}$

Étape 4.4

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$| z | = \sqrt{25 (2)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| z | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 5 \sqrt{2}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{5}{- 5})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{5}{- 5}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = \frac{3 π}{4}$ et $| z | = 5 \sqrt{2}$ .

$5 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$

Étape 8

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$z = 5 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$