Trigonométrie Exemples

$f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 \sin (x - 0.5) + 11$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x - 0.5)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \sin (x - 0.5)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x - 0.5)] + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x - 0.5$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 0.5$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$- 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 0.5$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \frac{d}{d x} [x - 0.5]) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 0.5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} [- 0.5])) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.5

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 4 (\cos (x - 0.5) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.2.7

Multipliez $\cos (x - 0.5)$ par $1$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + \frac{d}{d x} [11]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5) + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $- 4 \cos (x - 0.5)$ et $0$ .

$- 4 \cos (x - 0.5)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 \cos (x - 0.5)$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x - 0.5)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x - 0.5)$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x - 0.5$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 0.5$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f'' (x) = 4 (\sin (x - 0.5) \frac{d}{d x} (x - 0.5))$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 0.5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.5]$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + \frac{d}{d x} (- 0.5))$

Étape 2.3.4

Comme $- 0.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) (1 + 0)$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5) \cdot 1$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x - 0.5)$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 4 \cos (x - 0.5) = 0$

Étape 4

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \cos (x - 0.5) = 0$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \cos (x - 0.5)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $\cos (x - 0.5)$ par $1$ .

$\cos (x - 0.5) = \frac{0}{- 4}$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Divisez $0$ par $- 4$ .

$\cos (x - 0.5) = 0$

Étape 5

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x - 0.5 = \arccos (0)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{π}{2}$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $0.5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{π}{2} + 0.5$

Étape 7.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0.5$ .

$x = 2.07079632$

Étape 8

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x - 0.5 = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 9

Résolvez $x$ .

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Étape 9.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 9.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.1.2

Associez les fractions.

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Étape 9.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 9.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x - 0.5 = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 9.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x - 0.5 = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x - 0.5 = \frac{3 π}{2}$

Étape 9.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.2.1

Ajoutez $0.5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{3 π}{2} + 0.5$

Étape 9.2.2

Additionnez $\frac{3 π}{2}$ et $0.5$ .

$x = 5.21238898$

Étape 10

La solution de l’équation est $x - 0.5 = \frac{π}{2}$ .

$x = 2.07079632, 5.21238898$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2.07079632$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \sin ((2.07079632) - 0.5)$

Étape 12

Soustrayez $0.5$ de $2.07079632$ .

$4 \sin (1.57079632)$

Étape 13

$x = 2.07079632$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2.07079632$ est un minimum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = 2.07079632$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $2.07079632$ dans l’expression.

$f (2.07079632) = - 4 \sin ((2.07079632) - 0.5) + 11$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $0.5$ de $2.07079632$ .

$f (2.07079632) = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $- 4 \sin (1.57079632) + 11$ .

$y = - 4 \sin (1.57079632) + 11$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 5.21238898$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$4 \sin ((5.21238898) - 0.5)$

Étape 16

Soustrayez $0.5$ de $5.21238898$ .

$4 \sin (4.71238898)$

Étape 17

$x = 5.21238898$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 5.21238898$ est un maximum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = 5.21238898$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $5.21238898$ dans l’expression.

$f (5.21238898) = - 4 \sin ((5.21238898) - 0.5) + 11$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

Soustrayez $0.5$ de $5.21238898$ .

$f (5.21238898) = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Étape 18.2.2

La réponse finale est $- 4 \sin (4.71238898) + 11$ .

$y = - 4 \sin (4.71238898) + 11$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - 4 \sin (x - 0.5) + 11$ .

$(2.07079632, - 4 \sin (1.57079632) + 11)$ est un minimum local

$(5.21238898, - 4 \sin (4.71238898) + 11)$ est un maximum local

Étape 20