Trigonométrie Exemples

$f (x) = - {(x - 5)}^{2} + 3$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$f (x) = - ((x - 5) (x - 5)) + 3$

Étape 1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - (x (x - 5) - 5 (x - 5)) + 3$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) + 3$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + 3$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) = - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) + 3$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$f (x) = - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) + 3$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f (x) = - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25) + 3$

Étape 1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$f (x) = - (x^{2} - 10 x + 25) + 3$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) = - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25 + 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25 + 3$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 25 + 3$

Étape 2

Additionnez $- 25$ et $3$ .

$f (x) = - x^{2} + 10 x - 22$

Étape 3

Le maximum d’une fonction quadratique se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ est négatif, la valeur maximale de la fonction est $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $x = a x^{2} + b x + c$ se produit sur $x = - \frac{b}{2 a}$

Étape 4

Déterminez la valeur de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ .

$x = - \frac{10}{2 (- 1)}$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses.

$x = - \frac{10}{2 (- 1)}$

Étape 4.3

Simplifiez $- \frac{10}{2 (- 1)}$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$x = - \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

Étape 4.3.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{5}{- 1}$ .

$x = - (- 1 \cdot 5)$

Étape 4.3.2

Multipliez $- (- 1 \cdot 5)$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x = - - 5$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$x = 5$

Étape 5

Évaluez $f (5)$ .

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = - {(5)}^{2} + 10 (5) - 22$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 10 (5) - 22$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (5) = - 25 + 10 (5) - 22$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $10$ par $5$ .

$f (5) = - 25 + 50 - 22$

Étape 5.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 5.2.2.1

Additionnez $- 25$ et $50$ .

$f (5) = 25 - 22$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $22$ de $25$ .

$f (5) = 3$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $3$ .

$3$

Étape 6

Utilisez les valeurs $x$ et $y$ pour déterminer où se produit le maximum.

$(5, 3)$

Étape 7