Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 23 \\ c = \\ a = & 14 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 105 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $A$ .

$\frac{\sin (A)}{14} = \frac{\sin (105)}{23}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $14$ .

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$14 \frac{\sin (A)}{14} = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (105)}{23}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $14 \frac{\sin (105)}{23}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (105)$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (75)}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Divisez $75$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30 + 45)}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\sin (A) = 14 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.6

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.8

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.8.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{23}$

Étape 3.2.2.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (A) = 14 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{23}$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (A) = 14 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23})$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{23}$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{1}{23}$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 23}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $4$ par $23$ .

$\sin (A) = 14 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Étape 3.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\sin (A) = 2 (7) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{92}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $92$ .

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Étape 3.2.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\sin (A) = 2 \cdot 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 46}$

Étape 3.2.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\sin (A) = 7 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$

Étape 3.2.2.1.5

Associez $7$ et $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{46}$ .

$\sin (A) = \frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $A$ de l’intérieur du sinus.

$A = \arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{7 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{46})$ .

$A = 36.01201213$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$A = 180 - 36.01201213$

Étape 3.6

Soustrayez $36.01201213$ de $180$ .

$A = 143.98798786$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $A = 36.01201213$ .

$A = 36.01201213, 143.98798786$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$A = 36.01201213$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$36.01201213 + C + 105 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 5.1

Additionnez $36.01201213$ et $105$ .

$C + 141.01201213 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $141.01201213$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 141.01201213$

Étape 5.2.2

Soustrayez $141.01201213$ de $180$ .

$C = 38.98798786$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (38.98798786)}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (38.98798786)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{\sin (36.01201213)}{14}$

Étape 8.1.2

Évaluez $\sin (36.01201213)$ .

$\frac{0.62915744}{c} = \frac{0.58795485}{14}$

Étape 8.1.3

Divisez $0.58795485$ par $14$ .

$\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$c$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ par $c$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.62915744}{c} = 0.04199677$ par $c$ .

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.62915744}{c} c = 0.04199677 c$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.62915744 = 0.04199677 c$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

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Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.04199677 c = 0.62915744$ .

$0.04199677 c = 0.62915744$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.04199677 c = 0.62915744$ par $0.04199677$ et simplifiez.

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Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.04199677 c = 0.62915744$ par $0.04199677$ .

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.04199677$ .

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Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.04199677 c}{0.04199677} = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{0.62915744}{0.04199677}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.62915744$ par $0.04199677$ .

$c = 14.98108954$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 36.01201213$

$B = 105$

$C = 38.98798786$

$a = 14$

$b = 23$

$c = 14.98108954$