Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = & 45 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Déterminez le dernier angle du triangle.

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Étape 1.1

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$A + 90 + 45 = 180$

Étape 1.2

Résolvez l’équation pour $A$ .

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Étape 1.2.1

Additionnez $90$ et $45$ .

$A + 135 = 180$

Étape 1.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $A$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $135$ des deux côtés de l’équation.

$A = 180 - 135$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $135$ de $180$ .

$A = 45$

Étape 2

Déterminez $c$ .

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Étape 2.1

Le sinus d’un angle est égal au ratio du côté opposé sur l’hypoténuse.

$\sin (B) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 2.2

Remplacez le nom de chaque côté dans la définition de la fonction sinus.

$\sin (B) = \frac{b}{c}$

Étape 2.3

Définissez l’équation à résoudre pour l’hypoténuse, dans ce cas $c$ .

$c = \frac{b}{\sin (B)}$

Étape 2.4

Remplacez les valeurs de chaque variable dans la formule pour le sinus.

$c = \frac{7}{\sin (45)}$

Étape 2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$c = 7 (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = 7 (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 2.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 2.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 2.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Étape 2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Étape 2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Étape 2.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 2.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 2.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Étape 2.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.8.1

Annulez le facteur commun.

$c = 7 (\frac{2 \sqrt{2}}{2})$

Étape 2.8.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$c = 7 \sqrt{2}$

Étape 3

Déterminez le dernier côté du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.

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Étape 3.1

Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté inconnu. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré dont le côté est l’hypoténuse (le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit) est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont les deux jambes (les deux autres côtés que l’hypoténuse).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs réelles dans l’équation.

$a = \sqrt{{(7 \sqrt{2})}^{2} - {(7)}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $7 \sqrt{2}$ .

$a = \sqrt{7^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(7)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{49 {\sqrt{2}}^{2} - {(7)}^{2}}$

Étape 3.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{49 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(7)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{49 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(7)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = \sqrt{49 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(7)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{49 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(7)}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{49 \cdot 2 - {(7)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Évaluez l’exposant.

$a = \sqrt{49 \cdot 2 - {(7)}^{2}}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.6.1

Multipliez $49$ par $2$ .

$a = \sqrt{98 - {(7)}^{2}}$

Étape 3.6.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{98 - 1 \cdot 49}$

Étape 3.6.3

Multipliez $- 1$ par $49$ .

$a = \sqrt{98 - 49}$

Étape 3.6.4

Soustrayez $49$ de $98$ .

$a = \sqrt{49}$

Étape 3.6.5

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$a = \sqrt{7^{2}}$

Étape 3.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = 7$

Étape 4

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 45$

$B = 45$

$C = 90$

$a = 7$

$b = 7$

$c = 7 \sqrt{2}$