Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 12 \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Déterminez le dernier angle du triangle.

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Étape 1.1

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$30 + 90 + B = 180$

Étape 1.2

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 1.2.1

Additionnez $30$ et $90$ .

$120 + B = 180$

Étape 1.2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $B$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $120$ des deux côtés de l’équation.

$B = 180 - 120$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $120$ de $180$ .

$B = 60$

Étape 2

Déterminez $b$ .

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Étape 2.1

Le cosinus d’un angle est égal au ratio du côté adjacent sur l’hypoténuse.

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 2.2

Remplacez le nom de chaque côté dans la définition de la fonction cosinus.

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

Étape 2.3

Définissez l’équation à résoudre pour le côté adjacent, dans ce cas $b$ .

$b = c \cdot \cos (A)$

Étape 2.4

Remplacez la valeur de chaque variable dans la formule pour le cosinus.

$b = 12 \cdot \cos (30)$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$b = 2 (6) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$b = 2 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$b = 6 \cdot \sqrt{3}$

$b = 6 \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez le dernier côté du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.

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Étape 3.1

Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté inconnu. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré dont le côté est l’hypoténuse (le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit) est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont les deux jambes (les deux autres côtés que l’hypoténuse).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Étape 3.2

Résolvez l’équation pour $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs réelles dans l’équation.

$a = \sqrt{{(12)}^{2} - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{144 - {(6 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la règle de produit à $6 \sqrt{3}$ .

$a = \sqrt{144 - (6^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 3.4.3

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{144 - (36 {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 3.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{144 - (36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Étape 3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

Étape 3.5.5

Évaluez l’exposant.

$a = \sqrt{144 - (36 \cdot 3)}$

Étape 3.6

Multipliez $- (36 \cdot 3)$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez $36$ par $3$ .

$a = \sqrt{144 - 1 \cdot 108}$

Étape 3.6.2

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$a = \sqrt{144 - 108}$

Étape 3.7

Soustrayez $108$ de $144$ .

$a = \sqrt{36}$

Étape 3.8

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$a = \sqrt{6^{2}}$

Étape 3.9

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$a = 6$

Étape 4

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 6$

$b = 6 \sqrt{3}$

$c = 12$