Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 3 \sqrt{3} \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Déterminez $c$ .

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Étape 1.1

Le cosinus d’un angle est égal au ratio du côté adjacent sur l’hypoténuse.

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 1.2

Remplacez le nom de chaque côté dans la définition de la fonction cosinus.

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

Étape 1.3

Définissez l’équation à résoudre pour l’hypoténuse, dans ce cas $c$ .

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

Étape 1.4

Remplacez la valeur de chaque variable dans la formule pour le cosinus.

$c = \frac{3 \sqrt{3}}{\cos (60)}$

Étape 1.5

La valeur de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$c = \frac{3 \sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$

Étape 1.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$c = 3 \sqrt{3} \cdot 2$

Étape 1.7

Multipliez $2$ par $3$ .

$c = 6 \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez le dernier côté du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté inconnu. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré dont le côté est l’hypoténuse (le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit) est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont les deux jambes (les deux autres côtés que l’hypoténuse).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $b$ .

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs réelles dans l’équation.

$b = \sqrt{{(6 \sqrt{3})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $6 \sqrt{3}$ .

$b = \sqrt{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.4.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{36 {\sqrt{3}}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \sqrt{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$b = \sqrt{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$b = \sqrt{36 \cdot 3 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.5.5

Évaluez l’exposant.

$b = \sqrt{36 \cdot 3 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $36$ par $3$ .

$b = \sqrt{108 - {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Étape 2.6.2

Appliquez la règle de produit à $3 \sqrt{3}$ .

$b = \sqrt{108 - (3^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 2.6.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$b = \sqrt{108 - (9 {\sqrt{3}}^{2})}$

Étape 2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \sqrt{108 - (9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Étape 2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Étape 2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Étape 2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3)}$

Étape 2.7.5

Évaluez l’exposant.

$b = \sqrt{108 - (9 \cdot 3)}$

Étape 2.8

Multipliez $- (9 \cdot 3)$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$b = \sqrt{108 - 1 \cdot 27}$

Étape 2.8.2

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$b = \sqrt{108 - 27}$

Étape 2.9

Soustrayez $27$ de $108$ .

$b = \sqrt{81}$

Étape 2.10

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$b = \sqrt{9^{2}}$

Étape 2.11

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$b = 9$

Étape 3

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 3 \sqrt{3}$

$b = 9$

$c = 6 \sqrt{3}$