Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 1 \\ c = & 1 \\ a = & 1 \end{matrix} & \begin{matrix} A = \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

$A = \arccos (\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c})$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$A = \arccos (\frac{{(1)}^{2} + {(1)}^{2} - {(1)}^{2}}{2 (1) (1)})$

Étape 4

Simplifiez les résultats.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A = \arccos (\frac{1 + 1^{2} - 1^{2}}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A = \arccos (\frac{1 + 1 - 1^{2}}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A = \arccos (\frac{1 + 1 - 1 \cdot 1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A = \arccos (\frac{1 + 1 - 1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 4.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$A = \arccos (\frac{2 - 1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 4.1.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A = \arccos (\frac{1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$A = \arccos (\frac{1}{2 \cdot 1})$

Étape 4.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$A = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $60$ .

$A = 60$

Étape 5

Utilisez la loi des cosinus pour déterminer le côté inconnu du triangle, à partir des deux autres côtés et de l’angle inclus.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

Étape 6

Résolvez l’équation.

$B = \arccos (\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c})$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$B = \arccos (\frac{{(1)}^{2} + {(1)}^{2} - {(1)}^{2}}{2 (1) (1)})$

Étape 8

Simplifiez les résultats.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$B = \arccos (\frac{1 + 1^{2} - 1^{2}}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 8.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$B = \arccos (\frac{1 + 1 - 1^{2}}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 8.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$B = \arccos (\frac{1 + 1 - 1 \cdot 1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$B = \arccos (\frac{1 + 1 - 1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$B = \arccos (\frac{2 - 1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 8.1.6

Soustrayez $1$ de $2$ .

$B = \arccos (\frac{1}{2 (1) \cdot 1})$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$B = \arccos (\frac{1}{2 \cdot 1})$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$B = \arccos (\frac{1}{2})$

Étape 8.3

La valeur exacte de $\arccos (\frac{1}{2})$ est $60$ .

$B = 60$

Étape 9

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$60 + C + 60 = 180$

Étape 10

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 10.1

Additionnez $60$ et $60$ .

$C + 120 = 180$

Étape 10.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $120$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 120$

Étape 10.2.2

Soustrayez $120$ de $180$ .

$C = 60$

Étape 11

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 60$

$B = 60$

$C = 60$

$a = 1$

$b = 1$

$c = 1$