Trigonométrie Exemples

sin (4 x) cos (x) - sin (x) cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}

$\sin (4 x) \cos (x) - \sin (x) \cos (4 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,

[0, 2 π)

$[0, 2 π)$

Étape 1

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 2

Déterminez les valeurs de

n

$n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle

[0, 2 π)

$[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Insérez

0

$0$ pour

n

$n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans

[0, 2 π)

$[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Insérez

0

$0$ pour

n

$n$ .

\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à

0

$0$ et

3

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

2 π (0)

$2 π (0)$ .

\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Étape 2.1.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1.2.1

Factorisez

3

$3$ à partir de

3

$3$ .

\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Étape 2.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Étape 2.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Étape 2.1.2.1.1.2.4

Divisez

$2 π \cdot (0)$ par

$1$ .

$\frac{5 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez

$2 π (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$2$ .

$\frac{5 π}{12} + 0 π$

Étape 2.1.2.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$π$ .

$\frac{5 π}{12} + 0$

Étape 2.1.2.2

Additionnez

$\frac{5 π}{12}$ et

$0$ .

$\frac{5 π}{12}$

Étape 2.1.3

L’intervalle

$[0, 2 π)$ contient

$\frac{5 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Étape 2.2

Insérez

$0$ pour

$n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans

$[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Insérez

$0$ pour

$n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (0)}{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun à

$0$ et

$3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1.1

Factorisez

$3$ à partir de

$2 π (0)$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$3$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 (1)}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 π}{12} + \frac{3 (2 π \cdot (0))}{3 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot (0)}{1}$

Étape 2.2.2.1.1.2.4

Divisez

$2 π \cdot (0)$ par

$1$ .

$\frac{7 π}{12} + 2 π \cdot (0)$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez

$2 π (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$2$ .

$\frac{7 π}{12} + 0 π$

Étape 2.2.2.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$π$ .

$\frac{7 π}{12} + 0$

Étape 2.2.2.2

Additionnez

$\frac{7 π}{12}$ et

$0$ .

$\frac{7 π}{12}$

Étape 2.2.3

L’intervalle

$[0, 2 π)$ contient

$\frac{7 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}$

Étape 2.3

Insérez

$1$ pour

$n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans

$[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Insérez

$1$ pour

$n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire

$\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.3.1

Multipliez

$\frac{2 π}{3}$ par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez

$3$ par

$4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.5.1

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$\frac{5 π + 8 π}{12}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez

$5 π$ et

$8 π$ .

$\frac{13 π}{12}$

Étape 2.3.3

L’intervalle

$[0, 2 π)$ contient

$\frac{13 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

Étape 2.4

Insérez

$1$ pour

$n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans

$[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Insérez

$1$ pour

$n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (1)}{3}$

Étape 2.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Multipliez

$2$ par

$1$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Étape 2.4.2.2

Pour écrire

$\frac{2 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Multipliez

$\frac{2 π}{3}$ par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez

$3$ par

$4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 π + 2 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.5.1

Multipliez

$4$ par

$2$ .

$\frac{7 π + 8 π}{12}$

Étape 2.4.2.5.2

Additionnez

$7 π$ et

$8 π$ .

$\frac{15 π}{12}$

Étape 2.4.2.6

Annulez le facteur commun à

$15$ et

$12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.6.1

Factorisez

$3$ à partir de

$15 π$ .

$\frac{3 (5 π)}{12}$

Étape 2.4.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.6.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$12$ .

$\frac{3 (5 π)}{3 (4)}$

Étape 2.4.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (5 π)}{3 \cdot 4}$

Étape 2.4.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 π}{4}$

Étape 2.4.3

L’intervalle

$[0, 2 π)$ contient

$\frac{5 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}$

Étape 2.5

Insérez

$2$ pour

$n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans

$[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Insérez

$2$ pour

$n$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Étape 2.5.2.2

Pour écrire

$\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.5.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.3.1

Multipliez

$\frac{4 π}{3}$ par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez

$3$ par

$4$ .

$\frac{5 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.5.1

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$\frac{5 π + 16 π}{12}$

Étape 2.5.2.5.2

Additionnez

$5 π$ et

$16 π$ .

$\frac{21 π}{12}$

Étape 2.5.2.6

Annulez le facteur commun à

$21$ et

$12$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.6.1

Factorisez

$3$ à partir de

$21 π$ .

$\frac{3 (7 π)}{12}$

Étape 2.5.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.2.6.2.1

Factorisez

$3$ à partir de

$12$ .

$\frac{3 (7 π)}{3 (4)}$

Étape 2.5.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (7 π)}{3 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{7 π}{4}$

Étape 2.5.3

L’intervalle

$[0, 2 π)$ contient

$\frac{7 π}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Étape 2.6

Insérez

$2$ pour

$n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans

$[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Insérez

$2$ pour

$n$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{2 π (2)}{3}$

Étape 2.6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Multipliez

$2$ par

$2$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3}$

Étape 2.6.2.2

Pour écrire

$\frac{4 π}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.6.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun

$12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de

$1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.3.1

Multipliez

$\frac{4 π}{3}$ par

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4}$

Étape 2.6.2.3.2

Multipliez

$3$ par

$4$ .

$\frac{7 π}{12} + \frac{4 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 π + 4 π \cdot 4}{12}$

Étape 2.6.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.5.1

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$\frac{7 π + 16 π}{12}$

Étape 2.6.2.5.2

Additionnez

$7 π$ et

$16 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Étape 2.6.3

L’intervalle

$[0, 2 π)$ contient

$\frac{23 π}{12}$ .

$x = \frac{5 π}{12}, \frac{7 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{23 π}{12}$

Étape 3