Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (θ) - 3 \sin (θ) + 1 = 0$ , $[0, 2 π)$

Étape 1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (θ)$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sin (θ)$ par $u$ .

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Étape 1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 u$ .

$2 u^{2} - 3 u + 1 = 0$

Étape 1.2.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $- 1$ plus $- 2$

$2 u^{2} + (- 1 - 2) u + 1 = 0$

Étape 1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 u^{2} - 1 u - 2 u + 1 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 u^{2} - 1 u) - 2 u + 1 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (2 u - 1) - (2 u - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 1) = 0$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (θ)$ .

$(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

$\sin (θ) - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $2 \sin (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $2 \sin (θ) - 1$ égal à $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Étape 3.2

Résolvez $2 \sin (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 \sin (θ) = 1$

Étape 3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 \sin (θ) = 1$ par $2$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{1}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 3.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{6}$ .

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Étape 3.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 3.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 3.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.6.3.1

Déplacez $6$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 3.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Étape 3.2.7

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 3.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 3.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 3.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 3.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 3.2.8

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (θ) - 1$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (θ) - 1$ égal à $0$ .

$\sin (θ) - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (θ) - 1 = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\sin (θ) = 1$

Étape 4.2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du sinus.

$θ = \arcsin (1)$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.4

$θ = π - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 4.2.5.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$θ = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.5.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 4.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Étape 4.2.6

Déterminez la période de $\sin (θ)$ .

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Étape 4.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.7

La période de la fonction $\sin (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 \sin (θ) - 1) (\sin (θ) - 1) = 0$ vraie.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 6.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 6.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Étape 6.1.2

Simplifiez

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 6.1.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Étape 6.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{6}$ et $0$ .

$\frac{π}{6}$

Étape 6.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Étape 6.2

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Étape 6.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $\frac{π}{2}$ et $0$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 6.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}$

Étape 6.3

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 6.3.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Étape 6.3.2

Simplifiez

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $2 π (0)$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Étape 6.3.2.1.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Étape 6.3.2.2

Additionnez $\frac{5 π}{6}$ et $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Étape 6.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}$