Trigonométrie Exemples

$f (x) = 4 \cos (2 x - π)$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 \cos (2 x - π)$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 \cos (2 x - π) = 0$ .

$4 \cos (2 x - π) = 0$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $4 \cos (2 x - π) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 \cos (2 x - π) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cos (2 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $\cos (2 x - π)$ par $1$ .

$\cos (2 x - π) = \frac{0}{4}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$\cos (2 x - π) = 0$

Étape 1.2.3

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$2 x - π = \arccos (0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$2 x - π = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.5.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{π}{2} + π$

Étape 1.2.5.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.5.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{π + π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 x = \frac{π + 2 \cdot π}{2}$

Étape 1.2.5.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.6

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.6.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 1.2.7

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$2 x - π = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.8

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.8.1.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.8.1.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.8.1.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x - π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.8.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 x - π = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.8.1.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$2 x - π = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.8.2.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = \frac{3 π}{2} + π$

Étape 1.2.8.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.8.2.3

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.8.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x = \frac{3 π + π \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.8.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$2 x = \frac{3 π + 2 \cdot π}{2}$

Étape 1.2.8.2.5.2

Additionnez $3 π$ et $2 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{2}$

Étape 1.2.8.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.8.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{5 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.8.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{2}}{2}$

Étape 1.2.8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.8.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.2.8.3.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.8.3.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.8.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 1.2.9

Déterminez la période de $\cos (2 x - π)$ .

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Étape 1.2.9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.9.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 1.2.9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 1.2.9.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 1.2.10

La période de la fonction $\cos (2 x - π)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 \cos (2 (0) - π)$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cos (2 (0) - π)$

Étape 2.2.2

Simplifiez $4 \cos (2 (0) - π)$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 4 \cos (0 - π)$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $π$ de $0$ .

$y = 4 \cos (- π)$

Étape 2.2.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$y = 4 (- \cos (0))$

Étape 2.2.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$y = 4 (- 1 \cdot 1)$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = 4 \cdot - 1$

Étape 2.2.2.5.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = - 4$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 4)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 0)$ , pour tout entier $n$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 4)$

Étape 4