Trigonométrie Exemples

$p (x) = 27 x^{3} - 64$

Étape 1

Définissez $27 x^{3} - 64$ égal à $0$ .

$27 x^{3} - 64 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$27 x^{3} = 64$

Étape 2.2

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$27 x^{3} - 64 = 0$

Étape 2.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $27 x^{3}$ comme ${(3 x)}^{3}$ .

${(3 x)}^{3} - 64 = 0$

Étape 2.3.2

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

${(3 x)}^{3} - 4^{3} = 0$

Étape 2.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 3 x$ et $b = 4$ .

$(3 x - 4) ({(3 x)}^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $3 x$ .

$(3 x - 4) (3^{2} x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.3.4.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 4^{2}) = 0$

Étape 2.3.4.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16) = 0$

Étape 2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Étape 2.5

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 2.6

Définissez $9 x^{2} + 12 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $9 x^{2} + 12 x + 16$ égal à $0$ .

$9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $9 x^{2} + 12 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 12$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 16)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.3.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 9 \cdot 16$ .

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Étape 2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 36 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 36$ par $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.3

Soustrayez $576$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 432$ comme $- 1 (432)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (432)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.7

Réécrivez $432$ comme $12^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.6.2.3.1.7.1

Factorisez $144$ à partir de $432$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.1.9

Déplacez $12$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Étape 2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$x = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$

Étape 2.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 4) (9 x^{2} + 12 x + 16) = 0$ vraie.

$x = \frac{4}{3}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{3}$

Étape 3