Trigonométrie Exemples

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{25} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Étape 1

Simplifiez chaque terme de l’équation afin de définir le côté droit égal à $1$ . La forme normalisée d’une ellipse ou hyperbole nécessite que le côté droit de l’équation soit $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{25} + {(y - 2)}^{2} = 1$

Étape 2

C’est la forme d’une ellipse. Utilisez cette forme pour déterminer les valeurs utilisées pour déterminer le centre et le petit et le grand axe de l’ellipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Étape 3

Faites correspondre les valeurs dans cette ellipse avec celles de la forme normalisée. La variable $a$ représente le rayon du grand axe de l’ellipse, $b$ représente le rayon du petit axe de l’ellipse, $h$ représente le décalage x par rapport à l’origine et $k$ représente le décalage y par rapport à l’origine.

$a = 5$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 3$

Étape 4

Déterminez $c$ , la distance du centre à un foyer.

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Étape 4.1

Déterminez la distance du centre à un foyer de l’ellipse en utilisant la formule suivante.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - {(1)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{25 - 1 \cdot 1}$

Étape 4.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sqrt{25 - 1}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $1$ de $25$ .

$\sqrt{24}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $24$ comme $2^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $4$ à partir de $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Étape 4.3.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{6}$

Étape 5

Déterminez les foyers.

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Étape 5.1

Le premier foyer d’une ellipse peut être déterminé en ajoutant $c$ à $h$ .

$(h + c, k)$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(3 + 2 \sqrt{6}, 2)$

Étape 5.3

Le deuxième foyer d’une ellipse peut être déterminé en soustrayant $c$ à $h$ .

$(h - c, k)$

Étape 5.4

Remplacez les valeurs connues de $h$ , $c$ et $k$ dans la formule.

$(3 - (2 \sqrt{6}), 2)$

Étape 5.5

Simplifiez

$(3 - 2 \sqrt{6}, 2)$

Étape 5.6

Les ellipses ont deux foyers.

${Focus}_{1}$ : $(3 + 2 \sqrt{6}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - 2 \sqrt{6}, 2)$

${Focus}_{1}$ : $(3 + 2 \sqrt{6}, 2)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - 2 \sqrt{6}, 2)$

Étape 6