Trigonométrie Exemples

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ comme une équation.

$y = 2^{x - 1} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2^{y - 1} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2^{y - 1} + 1 = x$ .

$2^{y - 1} + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2^{y - 1} = x - 1$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

Étape 3.4

Développez $\ln (2^{y - 1})$ en déplaçant $y - 1$ hors du logarithme.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Simplifiez $(y - 1) \ln (2)$ .

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Étape 3.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

Étape 3.5.1.2

Réécrivez $- 1 \ln (2)$ comme $- \ln (2)$ .

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

Étape 3.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

Étape 3.7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.7.1

Ajoutez $\ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

Étape 3.7.2

Ajoutez $\ln (x - 1)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

Étape 3.8

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ par $\ln (2)$ et simplifiez.

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Étape 3.8.1

Divisez chaque terme dans $y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ par $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 3.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Étape 3.8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Étape 3.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.3.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 3.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Étape 3.8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ .

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Étape 5.2.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $2^{x - 1}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Développez $\ln (2^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.4.2

Annulez le facteur commun de $\ln (2)$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

Étape 5.2.4.2.2

Divisez $x - 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $1 + x - 1$ .

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Étape 5.2.5.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $0$ et $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Utilisez la règle du changement de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

Étape 5.3.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 1 + 1$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ est l’inverse de $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$