Trigonométrie Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \tan (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \tan (x)$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \tan (x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot \tan (y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \tan (y) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \tan (y) = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \tan (y)) = 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \tan (y))$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (y)$ .

$2 \frac{\tan (y)}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\tan (y)}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (y) = 2 x$

Étape 3.4

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de la tangente.

$y = \arctan (2 x)$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)))$

Étape 5.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $\tan (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (2 (\frac{\tan (x)}{2}))$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \tan (x)) = \arctan (\tan (x))$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\arctan (2 x))$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot \tan (\arctan (2 x))$

Étape 5.3.3

Les fonctions tangente et arc tangente sont inverses.

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\arctan (2 x)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\arctan (2 x)) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arctan (2 x)$