Trigonométrie Exemples

$\frac{x - 4}{x + 5} < 4$

Étape 1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 < 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x - 4}{x + 5} - 4$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} - 4 \cdot \frac{x + 5}{x + 5} < 0$

Étape 2.2

Associez $- 4$ et $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$\frac{x - 4}{x + 5} + \frac{- 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - 4 - 4 (x + 5)}{x + 5} < 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4 - 4 x - 4 \cdot 5}{x + 5} < 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$\frac{x - 4 - 4 x - 20}{x + 5} < 0$

Étape 2.4.3

Soustrayez $4 x$ de $x$ .

$\frac{- 3 x - 4 - 20}{x + 5} < 0$

Étape 2.4.4

Soustrayez $20$ de $- 4$ .

$\frac{- 3 x - 24}{x + 5} < 0$

Étape 2.4.5

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x - 24$ .

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Étape 2.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x$ .

$\frac{3 (- x) - 24}{x + 5} < 0$

Étape 2.4.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$\frac{3 (- x) + 3 (- 8)}{x + 5} < 0$

Étape 2.4.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- x) + 3 (- 8)$ .

$\frac{3 (- x - 8)}{x + 5} < 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 8)}{x + 5} < 0$

Étape 2.6

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (8))}{x + 5} < 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (8)$ .

$\frac{3 (- (x + 8))}{x + 5} < 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- (x + 8)$ comme $- 1 (x + 8)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 8))}{x + 5} < 0$

Étape 2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (x + 8)}{x + 5} < 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 8 = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 4

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 8$

Étape 5

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 6

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 8$

$x = - 5$

Étape 7

Consolidez les solutions.

$x = - 8, - 5$

Étape 8

Déterminez le domaine de $- \frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ .

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Étape 8.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 (x + 8)}{x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 5 = 0$

Étape 8.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 8.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 8$

$- 8 < x < - 5$

$x > - 5$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 10) - 4}{(- 10) + 5} < 4$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $2.8$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 8 < x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) - 4}{(- 6) + 5} < 4$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $10$ n’est pas inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) - 4}{(0) + 5} < 4$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $- 0.8$ est inférieur au côté droit $4$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < - 5$ Faux

$x > - 5$ Vrai

$x < - 8$ Vrai

$- 8 < x < - 5$ Faux

$x > - 5$ Vrai

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 8$ ou $x > - 5$

Étape 12

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- \infty, - 8) \cup (- 5, \infty)$

Étape 13