Trigonométrie Exemples

$c = 2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = c$ .

$2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = c$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}})}^{2} = c^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}}$ comme ${(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 π {(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(2 π {(\frac{a^{2} + b^{2}}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ .

${(2 π \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $2 π \frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Associez $\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

${(\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2^{\frac{1}{2}}} π)}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.2.2

Associez $\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2^{\frac{1}{2}}}$ et $π$ .

${(\frac{{(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 π}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.3

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 π \cdot 2^{- \frac{1}{2}})}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.4.1

Déplacez $2^{- \frac{1}{2}}$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2) π)}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Multipliez $2^{- \frac{1}{2}}$ par $2$ .

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Étape 3.2.1.4.2.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot (2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1}) π)}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2} + 1} π)}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} π)}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{- 1 + 2}{2}} π)}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.4.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} π)}^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à ${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} π$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à ${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ .

${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.6

Multipliez les exposants dans ${({(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

${(a^{2} + b^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

${(a^{2} + b^{2})}^{1} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.7

Simplifiez

$(a^{2} + b^{2}) \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2^{1} π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.9

Évaluez l’exposant.

$(a^{2} + b^{2}) \cdot 2 π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.10

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a^{2} \cdot 2 + b^{2} \cdot 2) π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.10.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.2.1.10.2.1

Déplacez $2$ à gauche de $a^{2}$ .

$(2 \cdot a^{2} + b^{2} \cdot 2) π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.10.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $b^{2}$ .

$(2 \cdot a^{2} + 2 \cdot b^{2}) π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.11

Multipliez $2$ par $b^{2}$ .

$(2 a^{2} + 2 b^{2}) π^{2} = c^{2}$

Étape 3.2.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$2 a^{2} π^{2} + 2 b^{2} π^{2} = c^{2}$

Étape 4

Résolvez $b$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $2 a^{2} π^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 b^{2} π^{2} = c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $2 b^{2} π^{2} = c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$ par $2 π^{2}$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $2 b^{2} π^{2} = c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$ par $2 π^{2}$ .

$\frac{2 b^{2} π^{2}}{2 π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 b^{2} π^{2}}{2 π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{b^{2} π^{2}}{π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $π^{2}$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{b^{2} π^{2}}{π^{2}} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $b^{2}$ par $1$ .

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 a^{2} π^{2}$ .

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{2 (- a^{2} π^{2})}{2 π^{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π^{2}$ .

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{2 (- a^{2} π^{2})}{2 (π^{2})}$

Étape 4.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{2 (- a^{2} π^{2})}{2 π^{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- a^{2} π^{2}}{π^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $π^{2}$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- a^{2} π^{2}}{π^{2}}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Divisez $- a^{2}$ par $1$ .

$b^{2} = \frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2}$

Étape 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2}}$ .

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Étape 4.4.1

Pour écrire $- a^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 π^{2}}{2 π^{2}}$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} - a^{2} \cdot \frac{2 π^{2}}{2 π^{2}}}$

Étape 4.4.2

Associez $- a^{2}$ et $\frac{2 π^{2}}{2 π^{2}}$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{2 π^{2}} + \frac{- a^{2} (2 π^{2})}{2 π^{2}}}$

Étape 4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2} - a^{2} (2 π^{2})}{2 π^{2}}}$

Étape 4.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}}$

Étape 4.4.5

Réécrivez $\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2 π^{2}}$ comme ${(\frac{1}{π})}^{2} \frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}$ .

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Étape 4.4.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $c^{2} - 2 a^{2} π^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}{2 π^{2}}}$

Étape 4.4.5.2

Factorisez la puissance parfaite $π^{2}$ dans $2 π^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}{π^{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}{π^{2} \cdot 2}$ .

$b = \pm \sqrt{{(\frac{1}{π})}^{2} \frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}}$

Étape 4.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$b = \pm \frac{1}{π} \sqrt{\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}}$

Étape 4.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \pm \frac{1}{π} \cdot \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4.8

Associez.

$b = \pm \frac{1 \sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$

Étape 4.4.9

Multipliez $\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}$ par $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$

Étape 4.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}}}{π \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.4.11.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 4.4.11.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 4.4.11.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 4.4.11.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.4.11.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.4.11.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.11.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.11.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.11.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.11.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.11.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.4.11.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2^{1}}$

Étape 4.4.11.7.5

Évaluez l’exposant.

$b = \pm \frac{\sqrt{c^{2} - 2 a^{2} π^{2}} \sqrt{2}}{π \cdot 2}$

Étape 4.4.12

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$b = \pm \frac{\sqrt{(c^{2} - 2 a^{2} π^{2}) \cdot 2}}{π \cdot 2}$

Étape 4.4.13

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.13.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{(c^{2} - 2 a^{2} π^{2}) \cdot 2}}{2 \cdot π}$

Étape 4.4.13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(c^{2} - 2 a^{2} π^{2}) \cdot 2}}{2 π}$ .

$b = \pm \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$

$b = - \frac{\sqrt{2 (c^{2} - 2 a^{2} π^{2})}}{2 π}$