Trigonométrie Exemples

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez $\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1$ .

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Étape 2.1

Déplacez $- 1$ .

$\sin^{2} (32 °) - 1 + \cos^{2} (m) = 0$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (32 °)$ et $- 1$ .

$- 1 + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Étape 2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Étape 2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (32 °)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °))$ .

$- 1 (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Étape 2.6

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (32 °))$ comme $- (1 - \sin^{2} (32 °))$ .

$- (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

Étape 2.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \cos^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

Étape 2.8

Remettez dans l’ordre $- \cos^{2} (32 °)$ et $\cos^{2} (m)$ .

$\cos^{2} (m) - \cos^{2} (32 °) = 0$

Étape 2.9

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \cos (m)$ et $b = \cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + \cos (32 °)) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

Étape 2.10

Évaluez $\cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

Étape 2.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.11.1

Évaluez $\cos (32 °)$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 1 \cdot 0.84804809) = 0$

Étape 2.11.2

Multipliez $- 1$ par $0.84804809$ .

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Étape 2.12

Développez $(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (m) (\cos (m) - 0.84804809) + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Étape 2.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

Étape 2.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.13

Associez les termes opposés dans $\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809$ .

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Étape 2.13.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\cos (m) \cdot - 0.84804809$ et $0.84804809 \cos (m)$ .

$\cos (m) \cos (m) - 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.13.2

Additionnez $- 0.84804809 \cos (m)$ et $0.84804809 \cos (m)$ .

$\cos (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.14

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.14.1

Multipliez $\cos (m) \cos (m)$ .

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Étape 2.14.1.1

Élevez $\cos (m)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.14.1.2

Élevez $\cos (m)$ à la puissance $1$ .

$\cos^{1} (m) \cos^{1} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.14.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\cos (m)}^{1 + 1} + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.14.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos^{2} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.14.2

Multipliez $0$ par $\cos (m)$ .

$\cos^{2} (m) + 0 + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

Étape 2.14.3

Multipliez $0.84804809$ par $- 0.84804809$ .

$\cos^{2} (m) + 0 - 0.71918557 = 0$

Étape 2.15

Additionnez $\cos^{2} (m)$ et $0$ .

$\cos^{2} (m) - 0.71918557 = 0$

Étape 3

Résolvez $m$ .

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Étape 3.1

Ajoutez $0.71918557$ aux deux côtés de l’équation.

$\cos^{2} (m) = 0.71918557$

Étape 3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\cos (m) = \pm \sqrt{0.71918557}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

Étape 3.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

Étape 3.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}, - \sqrt{0.71918557}$

Étape 3.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $m$ .

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

Étape 3.5

Résolvez $m$ dans $\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$ .

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Étape 3.5.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $m$ de l’intérieur du cosinus.

$m = \arccos (\sqrt{0.71918557})$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.1

Évaluez $\arccos (\sqrt{0.71918557})$ .

$m = 32$

Étape 3.5.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$m = 360 - 32$

Étape 3.5.4

Soustrayez $32$ de $360$ .

$m = 328$

Étape 3.5.5

Déterminez la période de $\cos (m)$ .

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Étape 3.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.5.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.5.6

La période de la fonction $\cos (m)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.6

Résolvez $m$ dans $\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$ .

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Étape 3.6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $m$ de l’intérieur du cosinus.

$m = \arccos (- \sqrt{0.71918557})$

Étape 3.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.2.1

Évaluez $\arccos (- \sqrt{0.71918557})$ .

$m = 148$

Étape 3.6.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $360$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$m = 360 - 148$

Étape 3.6.4

Soustrayez $148$ de $360$ .

$m = 212$

Étape 3.6.5

Déterminez la période de $\cos (m)$ .

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Étape 3.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Étape 3.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{360}{| 1 |}$

Étape 3.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{360}{1}$

Étape 3.6.5.4

Divisez $360$ par $1$ .

$360$

Étape 3.6.6

La période de la fonction $\cos (m)$ est $360$ si bien que les valeurs se répètent tous les $360$ degrés dans les deux sens.

$m = 148 + 360 n, 212 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.7

Indiquez toutes les solutions.

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n, 212 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.8

Consolidez les solutions.

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Étape 3.8.1

Consolidez $32 + 360 n$ et $212 + 360 n$ en $32 + 180 n$ .

$m = 32 + 180 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.8.2

Consolidez $328 + 360 n$ et $148 + 360 n$ en $148 + 180 n$ .

$m = 32 + 180 n, 148 + 180 n$ , pour tout entier $n$