Trigonométrie Exemples

$14 (1 - \cos (θ)) = \sin^{2} (θ)$

Étape 1

Soustrayez $\sin^{2} (θ)$ des deux côtés de l’équation.

$14 (1 - \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 \cdot 1 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $14$ par $1$ .

$14 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $14$ .

$14 - 14 \cos (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Étape 3

Remplacez $\sin^{2} (θ)$ par $1 - \cos^{2} (θ)$ .

$14 - 14 \cos (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

Étape 4

Résolvez $θ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\cos (θ)$ par $u$ .

$14 - 14 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Étape 4.2

Simplifiez $14 - 14 u - (1 - u^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$14 - 14 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$14 - 14 u - 1 - - u^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $- - u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$14 - 14 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Étape 4.2.1.3.2

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$14 - 14 u - 1 + u^{2} = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $1$ de $14$ .

$- 14 u + 13 + u^{2} = 0$

Étape 4.3

Factorisez $- 14 u + 13 + u^{2}$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $13$ et dont la somme est $- 14$ .

$- 13, - 1$

Étape 4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 13) (u - 1) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 13 = 0$

$u - 1 = 0$

Étape 4.5

Définissez $u - 13$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Définissez $u - 13$ égal à $0$ .

$u - 13 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 13$

Étape 4.6

Définissez $u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Définissez $u - 1$ égal à $0$ .

$u - 1 = 0$

Étape 4.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 1$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 13) (u - 1) = 0$ vraie.

$u = 13, 1$

Étape 4.8

Remplacez $u$ par $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = 13, 1$

Étape 4.9

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $θ$ .

$\cos (θ) = 13$

$\cos (θ) = 1$

Étape 4.10

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.10.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $13$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4.11

Résolvez $θ$ dans $\cos (θ) = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur du cosinus.

$θ = \arccos (1)$

Étape 4.11.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.2.1

La valeur exacte de $\arccos (1)$ est $0$ .

$θ = 0$

Étape 4.11.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = 2 π - 0$

Étape 4.11.4

Soustrayez $0$ de $2 π$ .

$θ = 2 π$

Étape 4.11.5

Déterminez la période de $\cos (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.11.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.11.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.11.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.11.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.11.6

La période de la fonction $\cos (θ)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.12

Indiquez toutes les solutions.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.13

Consolidez les réponses.

$θ = 2 π n$ , pour tout entier $n$