Trigonométrie Exemples

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 8 y - 5 = 0$

Étape 1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 16 x - 8 y = 5$

Étape 2

Divisez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = \frac{5}{4}$

Étape 3

Complétez le carré pour $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 3.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Étape 3.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 3.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 2}{1}$

Étape 3.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$d = - 2$

Étape 3.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 3.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun à ${(- 4)}^{2}$ et $4$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.4

Multipliez $4^{2}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Étape 3.4.2.1.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.1.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Étape 3.4.2.1.1.6.4

Divisez $4$ par $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$e = 0 - 4$

Étape 3.4.2.2

Soustrayez $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Étape 4

Remplacez $x^{2} - 4 x$ par ${(x - 2)}^{2} - 4$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = \frac{5}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 + y^{2} - 2 y = \frac{5}{4}$

Étape 5

Déplacez $- 4$ du côté droit de l’équation en ajoutant $4$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} - 2 y = \frac{5}{4} + 4$

Étape 6

Complétez le carré pour $y^{2} - 2 y$ .

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Étape 6.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

Étape 6.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 6.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 6.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{1}$

Étape 6.3.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$d = - 1$

Étape 6.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 6.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Étape 6.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 6.4.2.1.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.4.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Étape 6.4.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Étape 6.4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e = 0 - 1$

Étape 6.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - 1)}^{2} - 1$ .

${(y - 1)}^{2} - 1$

Étape 7

Remplacez $y^{2} - 2 y$ par ${(y - 1)}^{2} - 1$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y = \frac{5}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} - 1 = \frac{5}{4} + 4$

Étape 8

Déplacez $- 1$ du côté droit de l’équation en ajoutant $1$ des deux côtés.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + 4 + 1$

Étape 9

Simplifiez $\frac{5}{4} + 4 + 1$ .

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Étape 9.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 9.1.1

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4}{1} + 1$

Étape 9.1.2

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Étape 9.1.3

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + 1$

Étape 9.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Étape 9.1.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 9.1.6

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 + 4 \cdot 4 + 4}{4}$

Étape 9.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.1

Multipliez $4$ par $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{5 + 16 + 4}{4}$

Étape 9.3.2

Additionnez $5$ et $16$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{21 + 4}{4}$

Étape 9.3.3

Additionnez $21$ et $4$ .

${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = \frac{25}{4}$