Trigonométrie Exemples

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $\cos (θ) \sin (θ)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\cos (θ) - \sin (θ)}{\cos (θ)}$ par $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\cos (θ) + \sin (θ)}{\sin (θ)}$ par $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(\cos (θ) - \sin (θ)) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin (θ) \sin (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.2

Multipliez $- \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 5.2.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.2.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1} - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) + (- \cos (θ) - \sin (θ)) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.5

Multipliez $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 5.5.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.5.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1} - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.6

Réorganisez les facteurs de $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \sin (θ) - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.7

Soustrayez $\cos (θ) \sin (θ)$ de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{0 - \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.8

Soustrayez $\sin^{2} (θ)$ de $0$ .

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ)}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ))}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.12

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 5.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 6

Séparez les fractions.

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\frac{- 1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Étape 8

Séparez les fractions.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Étape 9

Convertissez de $\frac{1}{\sin (θ)}$ à $\csc (θ)$ .

$\frac{- 1}{1} \csc (θ) \sec (θ)$

Étape 10

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- \csc (θ) \sec (θ)$