Trigonométrie Exemples

${(\sqrt{10} + i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${\sqrt{10}}^{4} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{4}$ comme $10^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

${(10^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$10^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$10^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$10^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$10^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$10^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$10^{2} + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$100 + 4 {\sqrt{10}}^{3} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{3}$ comme $\sqrt{10^{3}}$ .

$100 + 4 \sqrt{10^{3}} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.4

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$100 + 4 \sqrt{1000} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.5

Réécrivez $1000$ comme $10^{2} \cdot 10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Factorisez $100$ à partir de $1000$ .

$100 + 4 \sqrt{100 (10)} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.5.2

Réécrivez $100$ comme $10^{2}$ .

$100 + 4 \sqrt{10^{2} \cdot 10} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$100 + 4 (10 \sqrt{10}) i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.7

Multipliez $10$ par $4$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 {\sqrt{10}}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8

Réécrivez ${\sqrt{10}}^{2}$ comme $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10}$ comme $10^{\frac{1}{2}}$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{\frac{2}{2}} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10^{1} i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.8.5

Évaluez l’exposant.

$100 + 40 \sqrt{10} i + 6 \cdot 10 i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.9

Multipliez $6$ par $10$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 60 i^{2} + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.10

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i + 60 \cdot - 1 + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.11

Multipliez $60$ par $- 1$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} i^{3} + i^{4}$

Étape 2.1.12

Factorisez $i^{2}$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} (i^{2} \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.13

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} (- 1 \cdot i) + i^{4}$

Étape 2.1.14

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 + 4 \sqrt{10} (- i) + i^{4}$

Étape 2.1.15

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + i^{4}$

Étape 2.1.16

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.16.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + {(i^{2})}^{2}$

Étape 2.1.16.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.16.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$100 + 40 \sqrt{10} i - 60 - 4 \sqrt{10} i + 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Soustrayez $60$ de $100$ .

$40 \sqrt{10} i + 40 - 4 \sqrt{10} i + 1$

Étape 2.2.2

Soustrayez $4 \sqrt{10} i$ de $40 \sqrt{10} i$ .

$36 \sqrt{10} i + 40 + 1$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Additionnez $40$ et $1$ .

$36 \sqrt{10} i + 41$

Étape 2.2.3.2

Remettez dans l’ordre $36 \sqrt{10} i$ et $41$ .

$41 + 36 \sqrt{10} i$