Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = & 10 \sqrt{3} \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 \\ B = & 60 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

Déterminez $b$ .

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Étape 1.1

Le cosinus d’un angle est égal au ratio du côté adjacent sur l’hypoténuse.

$\cos (A) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 1.2

Remplacez le nom de chaque côté dans la définition de la fonction cosinus.

$\cos (A) = \frac{b}{c}$

Étape 1.3

Définissez l’équation à résoudre pour le côté adjacent, dans ce cas $b$ .

$b = c \cdot \cos (A)$

Étape 1.4

Remplacez la valeur de chaque variable dans la formule pour le cosinus.

$b = 10 \sqrt{3} \cdot \cos (30)$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{3}$ .

$b = 2 (5 \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$b = 2 (5 \sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$b = 5 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

Étape 1.6

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$b = 5 (\sqrt{3} \sqrt{3})$

Étape 1.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$b = 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Étape 1.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$b = 5 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 1.9

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$b = 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 1.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$b = 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 1.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$b = 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$b = 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 1.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$b = 5 \cdot 3$

Étape 1.9.5

Évaluez l’exposant.

$b = 5 \cdot 3$

Étape 1.10

Multipliez $5$ par $3$ .

$b = 15$

Étape 2

Déterminez le dernier côté du triangle en utilisant le théorème de Pythagore.

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Étape 2.1

Utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté inconnu. Dans tout triangle rectangle, l’aire du carré dont le côté est l’hypoténuse (le côté d’un triangle rectangle opposé à l’angle droit) est égale à la somme des aires des carrés dont les côtés sont les deux jambes (les deux autres côtés que l’hypoténuse).

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $a$ .

$a = \sqrt{c^{2} - b^{2}}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs réelles dans l’équation.

$a = \sqrt{{(10 \sqrt{3})}^{2} - {(15)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Appliquez la règle de produit à $10 \sqrt{3}$ .

$a = \sqrt{10^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(15)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{100 {\sqrt{3}}^{2} - {(15)}^{2}}$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$a = \sqrt{100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(15)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(15)}^{2}}$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(15)}^{2}}$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$a = \sqrt{100 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(15)}^{2}}$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$a = \sqrt{100 \cdot 3 - {(15)}^{2}}$

Étape 2.5.5

Évaluez l’exposant.

$a = \sqrt{100 \cdot 3 - {(15)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Multipliez $100$ par $3$ .

$a = \sqrt{300 - {(15)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$a = \sqrt{300 - 1 \cdot 225}$

Étape 2.6.3

Multipliez $- 1$ par $225$ .

$a = \sqrt{300 - 225}$

Étape 2.6.4

Soustrayez $225$ de $300$ .

$a = \sqrt{75}$

Étape 2.7

Réécrivez $75$ comme $5^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.7.1

Factorisez $25$ à partir de $75$ .

$a = \sqrt{25 (3)}$

Étape 2.7.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$a = \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

Étape 2.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$a = 5 \sqrt{3}$

Étape 3

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 30$

$B = 60$

$C = 90$

$a = 5 \sqrt{3}$

$b = 15$

$c = 10 \sqrt{3}$