Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 5 \\ c = \\ a = & 10 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 30 ° \\ B = \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $B$ .

$\frac{\sin (B)}{5} = \frac{\sin (30 °)}{10}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $B$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $5$ .

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (30 °)}{10}$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{\sin (B)}{5} = 5 \frac{\sin (30 °)}{10}$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (30 °)}{10}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $5 \frac{\sin (30 °)}{10}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.2.2.1.1.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (30 °)}{5 (2)}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (B) = 5 \frac{\sin (30 °)}{5 \cdot 2}$

Étape 3.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (B) = \frac{\sin (30 °)}{2}$

Étape 3.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (30 °)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{\frac{1}{2}}{2}$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sin (B) = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sin (B) = \frac{1}{4}$

Étape 3.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $B$ de l’intérieur du sinus.

$B = \arcsin (\frac{1}{4})$

Étape 3.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.1

Évaluez $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$B = 14.47751218$

Étape 3.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $180$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$B = 180 - 14.47751218$

Étape 3.6

Soustrayez $14.47751218$ de $180$ .

$B = 165.52248781$

Étape 3.7

La solution de l’équation est $B = 14.47751218$ .

$B = 14.47751218, 165.52248781$

Étape 3.8

Excluez l’angle non valide.

$B = 14.47751218$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$30 ° + C + 14.47751218 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 5.1

Additionnez $30 °$ et $14.47751218$ .

$C + 44.47751218 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $44.47751218$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 44.47751218$

Étape 5.2.2

Soustrayez $44.47751218$ de $180$ .

$C = 135.52248781$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (135.52248781)}{c} = \frac{\sin (30 °)}{10}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (135.52248781)$ .

$\frac{0.70062926}{c} = \frac{\sin (30 °)}{10}$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\sin (30 °)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.70062926}{c} = \frac{\frac{1}{2}}{10}$

Étape 8.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.70062926}{c} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}$

Étape 8.1.4

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10}$ .

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Étape 8.1.4.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{10}$ .

$\frac{0.70062926}{c} = \frac{1}{2 \cdot 10}$

Étape 8.1.4.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{0.70062926}{c} = \frac{1}{20}$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c, 20$

Étape 8.2.2

Comme $c, 20$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 20$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $c^{1}$ .

Étape 8.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 8.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 8.2.5

Les facteurs premiers pour $20$ sont $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 8.2.5.1

$20$ a des facteurs de $2$ et $10$ .

$2 \cdot 10$

Étape 8.2.5.2

$10$ a des facteurs de $2$ et $5$ .

$2 \cdot 2 \cdot 5$

Étape 8.2.6

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 8.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 5$

Étape 8.2.6.2

Multipliez $4$ par $5$ .

$20$

Étape 8.2.7

Le facteur pour $c^{1}$ est $c$ lui-même.

$c^{1} = c$

$c$ se produit $1$ fois.

Étape 8.2.8

Le plus petit multiple commun de $c^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$c$

Étape 8.2.9

Le plus petit multiple commun pour $c, 20$ est la partie numérique $20$ multipliée par la partie variable.

$20 c$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.70062926}{c} = \frac{1}{20}$ par $20 c$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.70062926}{c} = \frac{1}{20}$ par $20 c$ .

$\frac{0.70062926}{c} (20 c) = \frac{1}{20} (20 c)$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$20 \frac{0.70062926}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $20 \frac{0.70062926}{c}$ .

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Étape 8.3.2.2.1

Associez $20$ et $\frac{0.70062926}{c}$ .

$\frac{20 \cdot 0.70062926}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Étape 8.3.2.2.2

Multipliez $20$ par $0.70062926$ .

$\frac{14.01258538}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Étape 8.3.2.3

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 8.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14.01258538}{c} c = \frac{1}{20} (20 c)$

Étape 8.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$14.01258538 = \frac{1}{20} (20 c)$

Étape 8.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.3.1

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 8.3.3.1.1

Factorisez $20$ à partir de $20 c$ .

$14.01258538 = \frac{1}{20} (20 (c))$

Étape 8.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$14.01258538 = \frac{1}{20} (20 c)$

Étape 8.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$14.01258538 = c$

Étape 8.4

Réécrivez l’équation comme $c = 14.01258538$ .

$c = 14.01258538$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 30 °$

$B = 14.47751218$

$C = 135.52248781$

$a = 10$

$b = 5$

$c = 14.01258538$