Trigonométrie Exemples

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 7 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 15 \\ B = & 113 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

Étape 1

La loi des sinus repose sur la proportionnalité des côtés et des angles dans les triangles. Cette loi indique que pour les angles d’un triangle non rectangle, chaque angle du triangle a le même rapport de la mesure de l’angle sur la valeur du sinus.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 2

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $a$ .

$\frac{\sin (15)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 3.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 3.1.1

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sin (45 - 30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.2

Séparez la négation.

$\frac{\sin (45 - (30))}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{\sin (113)}{7}$

Étape 3.1.4

Évaluez $\sin (113)$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = \frac{0.92050485}{7}$

Étape 3.1.5

Divisez $0.92050485$ par $7$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 a, 1$

Étape 3.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 a$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ par $4 a$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} = 0.13150069$ par $4 a$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} (4 a) = 0.13150069 (4 a)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 a$ .

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 (a)} a = 0.13150069 (4 a)$

Étape 3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 a} a = 0.13150069 (4 a)$

Étape 3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Étape 3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{a} a = 0.13150069 (4 a)$

Étape 3.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.13150069 (4 a)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $4$ par $0.13150069$ .

$\sqrt{6} - \sqrt{2} = 0.52600277 a$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ .

$0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.52600277$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.52600277 a = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.52600277$ .

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.52600277$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.52600277 a}{0.52600277} = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\sqrt{6}}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Évaluez la racine.

$a = \frac{2.44948974}{0.52600277} + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Divisez $2.44948974$ par $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 + \frac{- \sqrt{2}}{0.52600277}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 4.65680005 - \frac{\sqrt{2}}{0.52600277}$

Étape 3.4.2.3.1.4

Évaluez la racine.

$a = 4.65680005 - \frac{1.41421356}{0.52600277}$

Étape 3.4.2.3.1.5

Divisez $1.41421356$ par $0.52600277$ .

$a = 4.65680005 - 1 \cdot 2.68860476$

Étape 3.4.2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $2.68860476$ .

$a = 4.65680005 - 2.68860476$

Étape 3.4.2.3.2

Soustrayez $2.68860476$ de $4.65680005$ .

$a = 1.96819528$

Étape 4

La somme de tous les angles dans un triangle est $180$ degrés.

$15 + C + 113 = 180$

Étape 5

Résolvez l’équation pour $C$ .

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Étape 5.1

Additionnez $15$ et $113$ .

$C + 128 = 180$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $128$ des deux côtés de l’équation.

$C = 180 - 128$

Étape 5.2.2

Soustrayez $128$ de $180$ .

$C = 52$

Étape 6

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Étape 7

Remplacez les valeurs connues dans la loi du sinus pour déterminer $c$ .

$\frac{\sin (52)}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $c$ .

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Étape 8.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 8.1.1

Évaluez $\sin (52)$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (15)}{1.96819528}$

Étape 8.1.2

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.2.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - 30)}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.2

Séparez la négation.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45 - (30))}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.1.2.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 8.1.2.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Étape 8.1.2.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{1.96819528}$

Étape 8.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{1.96819528}$

Étape 8.1.4

Divisez $1$ par $1.96819528$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot 0.50807966$ .

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Étape 8.1.5.1

Associez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 0.50807966}{4}$

Étape 8.1.5.2

Multipliez $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ par $0.50807966$ .

$\frac{0.78801075}{c} = \frac{0.52600277}{4}$

Étape 8.1.6

Divisez $0.52600277$ par $4$ .

$\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$

Étape 8.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$c, 1$

Étape 8.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$c$

Étape 8.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ par $c$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{0.78801075}{c} = 0.13150069$ par $c$ .

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Annulez le facteur commun de $c$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.78801075}{c} c = 0.13150069 c$

Étape 8.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$0.78801075 = 0.13150069 c$

Étape 8.4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.1

Réécrivez l’équation comme $0.13150069 c = 0.78801075$ .

$0.13150069 c = 0.78801075$

Étape 8.4.2

Divisez chaque terme dans $0.13150069 c = 0.78801075$ par $0.13150069$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.1

Divisez chaque terme dans $0.13150069 c = 0.78801075$ par $0.13150069$ .

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Étape 8.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $0.13150069$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.13150069 c}{0.13150069} = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Étape 8.4.2.2.1.2

Divisez $c$ par $1$ .

$c = \frac{0.78801075}{0.13150069}$

Étape 8.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.4.2.3.1

Divisez $0.78801075$ par $0.13150069$ .

$c = 5.99244561$

Étape 9

Ce sont les résultats pour tous les angles et côtés du triangle donné.

$A = 15$

$B = 113$

$C = 52$

$a = 1.96819528$

$b = 7$

$c = 5.99244561$